Historia gier liczbowych i rozrywki matematycznej

Czytasz o grach liczbowych. Nie tylko o Sudoku, nie tylko o kryptografii. Mówię o głębokiej historii puzzli, które wyglądają jak zabawki, ale w rzeczywistości są portalami do poważnej matematyki.

To myląca kategoria. Nie da się ich ładnie ułożyć na półkach. Niektóre z nich to głupia zabawa. Inne to nierozwiązane problemy, które od wieków intrygują matematyków. Lista dzikich tematów, których dotyczy. Arytmetyka. Algebra. Geometria. Topologia. Teoria grafów. Matryce. Teoria grup. Kombinatoryka. Teoria zbiorów. Logika symboliczna. Prawdopodobieństwo.

Spróbuj to wszystko sklasyfikować. Poniesiesz porażkę. Próba jest arbitralna.

To właśnie jest interesujące w rozrywce matematycznej. Zacierają granicę pomiędzy hobby a zawodem.

Niewinna łamigłówka polegająca na śledzeniu ścieżki może skłonić Cię do zwrócenia się ku teorii grafów. Liczenie części figury geometrycznej? To jest kombinatoryka. Dzielenie wielokąta? Teoria grup. Logiczny wniosek? Matryce.

Rzeczy, które w średniowieczu wydawały się niemożliwe, dzięki nowoczesnym metodom stają się teraz trywialne.

Dlaczego gramy

Istnieje powszechna chęć rozwiązywania zagadek. Nie ma znaczenia, czy jesteś młody, czy stary. Ulepszone lub nie.

Zauważył to G. H. Hardy, wybitny matematyk angielski. Wiedzą o tym również profesjonalni twórcy puzzli. Korzystają z tego. Społeczeństwo czerpie z tego intelektualną satysfakcję.

Literatura jest obszerna. Zwłaszcza od XX w.

Część się powtarza. Co zaskakujące, każde pokolenie uważa, że ​​stare, dobre łamigłówki są zachwycające. Nawet jeśli mają na sobie nowe ubrania. Ciągle dodawany jest nowy materiał.

Wczesne dni

Ludzie zawsze lubili tworzyć wyzwania. Intelektualna przyjemność. Ciekawość. Sekret.

Dzięki temu urokowi przetrwało wiele wczesnych rozrywek. Niektóre pochodziły od starożytnych Greków i Rzymian. W Ciemnych Wiekach wiedzieliśmy o nich niewiele. Zainteresowanie powróciło do średniowiecza.

Dlaczego? Wynaleziono prasę drukarską. Inspirowali się autorzy tekstów arytmetycznych. Pierwsi algebraicy i naukowcy zaczęli ze sobą konkurować i debatować.

Było to najbardziej widoczne na kontynencie. Włochy. Niemcy.

Znani współpracownicy to:
* Rabin ben Ezra (1140)
* Fibonacci (Leonado z Pizy; 1202)
* Robert Record (1542)
* Girolamo Cardano (1545)

Dwa typy zadań

Zadania ogólnie można podzielić na dwie kategorie.

Manipulacja obiektem.
Obliczenia.

Pierwszy typ wymagał minimalnych umiejętności matematycznych. Wystarczy ogólna inteligencja i pomysłowość.

Pomyśl o zadaniach związanych z transferem cieczy. Albo o trudnych przejściach.

Przykład z transfuzją:
Musisz odmierzyć jedną czwartą płynu. Masz tylko osiem, pięć i trzy kwarty miar. Jak to zrobisz?

Przykład z trudnym skrzyżowaniem:
Trzy pary muszą przejść przez strumień. Łódź może pomieścić tylko dwie osoby. Każdy mąż jest zbyt zazdrosny, aby zostawić żonę z innym mężczyzną. Jak się przedostaną?

Z biegiem lat pojawiło się wiele odmian obu typów.

Zadania obliczeniowe

Drugi typ polegał na obliczeniach rzeczywistych. Przyjmowały wiele form.

Oto kilka przykładów.

Znajdowanie numeru

Pomyśl o liczbie.
Potrój to.
Weź połowę kawałka.
Potrójny wynik.
Weź jeszcze połowę.
Podziel przez dziewięć.

Iloraz będzie równy jednej czwartej pierwotnej liczby.

Problemy „Niech Bóg cię przyjmie”

Ktoś mówi: „Gdyby było nas tyle samo i o połowę więcej, byłoby nas 30”.

Tekst zaczyna się od słów: „Pozdrawia was wszystkich, 30 towarzyszy”. Ilu ich było naprawdę?

Problem z szachownicą

Na pierwszym kwadracie umieść jedno ziarno pszenicy.
Dwa za drugie.
Cztery do trzeciego.
Zrób to dla wszystkich 64 komórek.

Ile fasoli będzie potrzebne?

Lew w studni

To jest klasyk. Dotyczy ruchu ze stałą prędkością, utrudnionego przez ruch wsteczny.

Lew jest w studni głębokiej na 50 łokci.
Codziennie podnosi się o 1/7 łokcia.
Cofa się o 1/9 łokcia.

Za ile dni wyjdzie?

Problemy z kurierami

Obejmują one ciała poruszające się z określonymi prędkościami. Znasz ich stanowisko w pewnym momencie. Musisz znaleźć czas potrzebny na dotarcie do określonego innego punktu.

Rozkwit rozrywki matematycznej w XVII wieku

Na długo zanim Internet oferował niekończące się łamigłówki, w XVII wieku nastąpiła eksplozja książek poświęconych wyłącznie zagadnieniom rozrywkowym. Nie były to tylko suche ćwiczenia akademickie. Zajmowali się także mechaniką i naukami ścisłymi. Iskra, która rozpaliła to zainteresowanie, przyszła z Francji.

Claude-Gaspard Baquet de Meziriats zmienił zasady gry. Jest jednym z pierwszych pionierów w tej dziedzinie. Zapamiętany dzięki wydaniu greckiej teorii liczb Diophantus z 1621 r. Baquet opublikował także w 1612 r. Problèmes plaisans et delectables qui se czcionka par les nombres.

Ta druga książka stała się wzorem do naśladowania. Miała pięć wydań, a ostatnie ukazało się w 1959 roku. To bardzo długi okres życia jak na książkę z zagadkami.

Bucket kładł nacisk na arytmetykę, a nie na geometrię. Jego zadania były konkretne i pilne.
– Wprowadził inny system liczbowy niż dziesiętny.
– Zawierał sztuczki karciane.
– Stworzył puzzle z tarczami zegarów w oparciu o unikalne schematy numeracji.
– Postawił klasyczny problem znalezienia najmniejszego zestawu wag, który mógłby ważyć dowolny ciężar od 1 do 40 funtów.
– Dodał złożone scenariusze przekraczania rzek.

To właśnie te oryginalne łamigłówki matematyczne zdefiniowały ten gatunek na nadchodzące dziesięciolecia.

Francuscy naśladowcy i niemiecka ekspansja

Trend nie zatrzymał się na Buckecie. W 1624 roku Jean Leron opublikował Récréations mathématiques. Pisał pod pseudonimem van Etten.

Książka Lerona odbiła się echem wśród czytelników. Do 1700 roku doczekało się co najmniej 30 wydań. Cieszyła się popularnością, mimo że była to głównie kopia. Leron wziął prostsze problemy Baqueta i zignorował bardziej znaczące sekcje. Było trochę prac oryginalnych, ale przeważnie książka służyła za model.

Wywarła wpływ na Midorzha i Shwendera. Tłumaczenie na język angielski ukazało się w 1633 roku. Tytuł był nieporęczny: „Rekreacje matematyczne, czyli zbiór różnych problemów…”. Obiecywał tajemnice natury i eksperymenty z arytmetyki, geometrii i optyki. Przetłumaczone przez Williama Oughtreda.

Francuzi nadal tworzyli treści. Claude Midorge opublikował Examen du livre des récréations mathématiques w 1630 r. Denis Henrion następnie opublikował własną wersję w 1659 r., opartą głównie na Midorge.

Tymczasem wpływy przedostały się przez kanał do Niemiec. Obszerny zbiór zebrał Daniel Schwender, profesor języka hebrajskiego i matematyki. Skorzystał z tłumaczenia pracy Lerona i dodał własne ustalenia.

„Przyjemności fizyko-matematyczne, czyli matematyczno-filozoficzne godziny wypoczynku” (Deliciae Physico-mathematicae oder Mathische und Philosophische Erquickstunden) ukazały się pośmiertnie w 1636 roku. Odniosły ogromny sukces. Dwa dodatkowe wydania miały miejsce w latach 1651 i 1653. Przez wiele lat powiększone wydanie Schwendera było najpełniejszym traktatem tego rodzaju.

Włochy również nie pozostały z boku. Jezuita Mario Bettini wydał w latach 1641–1642 dwutomowe dzieło zatytułowane A Piaria Universae Philosophiae Mathematicae. W 1660 r. ukazało się trzecie wydanie: „Najnowsza Pszczelarnia Rozrywek Matematycznych” (Recreationum Mathematicarum Apiaria Novissima).

Następnie przybył Johann Moret ze Szlezwiku. W 1665 opublikował Arithmetische Lustgarten, imitację Schwendera.

Późne wejście Anglii

Anglia późno zajęła się tą sprawą. William Laybourn był kimś więcej niż tylko pisarzem. Był nauczycielem matematyki, autorem podręczników i geodetą.

W 1694 roku opublikował książkę „Przyjemność z zyskiem: składająca się z rekreacji różnego rodzaju dla nurków”. Lista gatunków była wyczerpująca: numeryczna, geometryczna, mechaniczna, statyczna, astronomiczna, chronometryczna, kryptograficzna, magnetyczna, automatyczna, chemiczna i historyczna.

Strona tytułowa jasno określiła cel. Książka miała na celu „zabawić dowcipne umysły i zachęcić je do dalszego studiowania tych wzniosłych nauk”. Chciała także odwrócić uwagę młodych ludzi od wad.

Znaczącą część tomu stanowiły tradycyjne materiały edukacyjne. Opublikowane prace Laybourna wyrosły z jego kariery pedagogicznej. Uczył tyle samo, co bawił.

Era drukowanych puzzli przygotowała grunt pod wszystko, co nastąpiło później.

Rozkwit XVIII–XIX w

Wiek XVIII nie tylko podsycał ogień, ale go podsycał. W Anglii nastąpił gwałtowny wzrost liczby publikacji. Przyczynili się do tego Edward Hutton, Thomas Gent, Samuel Clarke i William Hooper. Potem nadszedł rok 1775. Charles Hutton wydał pięć tomów fragmentów „Dziennika damskiego”, kładąc nacisk na zabawne działy matematyczne i poetyckie. Kontynent nie pozostał daleko w tyle. Christian Peschek, opat Bonawentura, Paul Halken w Holandii. Edme-Gilles Guillot opublikował Nouvelles Récréations physiques et mathématiques w czterech tomach w latach 1769 i 1786.

Ale jedno imię wznosi się ponad resztę. Jacques’a Ozanama. Stał się prekursorem kolejnych dwóch stuleci tego gatunku. Jego Récréations mathématique et physiques zostały po raz pierwszy opublikowane w czterech tomach w 1694 roku. Książka doczekała się niezliczonych wydań. Czerpał z twórczości Bacheta, Midorge’a, Lerona i Schwentera. Montucla później go przerobił i rozszerzył. Następnie Charles Hutton przetłumaczył go na angielski w latach 1803 i 1814. Edward Riedel poprawił go ponownie w latach 1840 i 1844.

Pierwsza połowa XIX wieku była spokojna. Umiarkowana objętość publikacji. Mniej znani autorzy. Potem w drugiej połowie nastąpił wybuch. Rosnące zainteresowanie doprowadziło do przełomu wieków. Edwarda Łukasza. C. L. Dodgson, znany również jako Lewis Carroll. Récréations mathématiques Łukasza został opublikowany w czterech tomach w latach 1882–1894 i stał się klasykiem. Dodgson dodał swój własny smak. Logika symboliczna, Gra logiczna, Problemy z poduszkami i Zaplątana opowieść w dwóch tomach, opublikowanych w latach 1885–1895.

Ciężarowcy XX wieku

Wkraczając w XX wiek, spotykasz kolorowe postacie. Dwóch Amerykanów o imieniu Sam Loyd – ojciec i syn. Starszy Loyd był mistrzem tworzenia puzzli. Przez lata sprzedawał swoją cotygodniową kolumnę krajowej sieci konsorcjów. Oznaczało to poważny zasięg wśród publiczności. Stworzył także lub zaadaptował setki łamigłówek mechanicznych. Wykonane z tektury, drewna, metalu. Wszystko to przyniosło korzyści finansowe.

Kiedy Lloyd Jr. zmarł w 1934 roku w wieku 60 lat, uznanie dla jego pracy było przytłaczające. Stworzył co najmniej 10 000 puzzli. To wiele tajemnic.

Niemcy również wnieśli swój wkład. Hermann Schubert opublikował Zwölf Geduldspiele w 1899 r. Następnie w latach 1907–1909 wydano Mathematische Mussestunden w trzech tomach. Wilhelm Arens działał w latach 1904–1920. Jego Mathematische Unterhaltungen und Spiele (dwa tomy, 1910) zawierało obszerną bibliografię. Jest to oznaką poważnego podejścia naukowego.

Wielka Brytania dała Henry’emu Dudeneyowi. Współpracował z Strand Magazine. Jego kolekcje puzzli cieszyły się ogromną popularnością. W latach 1917–1967 były wielokrotnie wznawiane. Mathematical Recreations and Essays W. W. Rose Balla, opublikowane w 1892 roku, szybko stały się klasyką. Dlaczego? Jej naukowe podejście wyróżnia ją spośród innych. Książka doczekała się dziesięciu wydań. Brytyjski profesor H. S. M. Coxeter zrewidował go w 1938 r. Do dziś pozostaje standardowym odniesieniem.

Warto także wspomnieć o Maurycym Krajciku. W latach 1900-1942 redagował czasopismo Sphinx i był autorem kilku znanych dzieł.

Zmiana kursu w połowie stulecia

Tutaj robi się ciekawie. Mniej więcej w połowie XX wieku punkt ciężkości uległ zmianie. Wcześniej zainteresowanie skupiało się na konkretnej rozrywce. Ciekawostki numeryczne. Proste łamigłówki geometryczne. Zadania arytmetyczne w formie opowiadań. Składany papier. Figury wykonane z nici. Cięcia geometryczne. Zagadki manipulacyjne. Sztuczki z liczbami i kartami. Magiczne kwadraty.

Te czcigodne rozrywki również cieszyły się popularnością. Trisekcja kąta. Powielanie sześcianu. Kwadratowanie koła. Nawet nieuchwytny czwarty wymiar.

W połowie stulecia trend zmienił się w stronę złożoności. Kryptogramy zyskały popularność. Arytmetyka modułowa. Systemy liczbowe. Teoria liczb. Wykresy i sieci. Kraty. Teoria grup. Ciekawostki topologiczne. Pakowanie i powlekanie. Flexagony. Problemy kombinatoryczne. Teoria prawdopodobieństwa. Zadania rozumowania indukcyjnego.

Na pierwszy plan wyszły paradoksy logiczne. Błędy logiczne. Paradoksy nieskończoności. Matematyka stała się trudniejsza. Gry są mądrzejsze.

Zabawa arytmetyczna i algebraiczna

Wzory numeryczne i ciekawostki

Niektóre grupy liczb naturalnych ujawniają zaskakujące wzorce, jeśli zastosuje się do nich zwykłą arytmetykę. Zapewnia przyjemną rozrywkę. Spójrz na ten przykład:

Ukryta matematyka wielostopniowa

Nie chodzi tylko o dodanie kilku liczb całkowitych. Multi Degrees to specjalny rodzaj gier liczbowych, w którym dwa różne zestawy liczb pasują do czegoś więcej niż tylko ich suma podstawowa. Zbiegają się również, gdy zostaną podniesione do wyższych mocy.

„Tożsamości między sumami dwóch zbiorów liczb a sumami ich kwadratów lub potęg wyższego rzędu.”

Pomyśl o tym jak o matematycznym mirażu. Bierzesz zestaw A i zestaw B. Dodaj liczby w każdym z nich. Rezultat jest taki sam. Teraz podnieś do kwadratu każdą liczbę w obu zestawach. Sumy tych kwadratów również się pokrywają. Możesz pójść dalej – kostki, czwarte potęgi i tak dalej.

To nie jest przypadek. Jest to tożsamość ustrukturyzowana. Matematycy używają tego do badania powiązań liczb wykraczających poza prostą arytmetykę. To zagadka wymagająca precyzji. Jedna zła liczba i cała symetria się załamuje.

Dlaczego tego potrzebujemy? Ponieważ wzorce te ujawniają głębokie powiązania w teorii liczb. Pokazują, że liczby całkowite mogą zachowywać się w zaskakujący, skoordynowany sposób. To jakby znaleźć dwie zupełnie różne piosenki, które w jakiś sposób mają ten sam rytm i melodię.

Studia wielostopniowe nadal fascynują. To niszowy zakątek matematyki, który wydaje się niemal magiczny. Wszystko zaczyna się od prostego pytania: czy dwie różne grupy liczb mogą być naprawdę takie same w wielu wymiarach?

Budowanie od podstaw miast wielomiejskich

Zacznij od czegoś banalnego. Prosta równość, na przykład „1 + 5 = 2 + 4”. Ledwo zasługuje na uwagę. Następnie dodaj pięć do każdego terminu. Matematyka nadal jest aktualna. 6 + 10 = 7 + 9.

To jest ziarno. Tutaj zaczyna się prosta metoda tworzenia wielostopniowego.

Ale to tylko przygotowanie. Aby przejść na multigrad drugiego rzędu, trzeba zmienić podejście. Zamień strony. Połącz je.

Wygląda to tak:

„1 + 5 + 6 + 10 = 2 + 4 + 7 + 9”.

Liczby nie kłamią. Są zrównoważone.

Spójrz przez chwilę na matematykę. Jeśli weźmiemy pewien zbiór liczb, suma ich pierwszych potęg ($S_1$) wynosi dokładnie 22. Suma ich drugiej potęgi ($S_2$) wzrasta do 156. Jest to ciasna „kieszeń” matematyczna.

Ale wystarczy trochę zmienić sytuację.

Dodaj 10 do każdej liczby w tym zestawie. Nagle nie masz już do czynienia z prostymi sumami. Otwierasz multimiasto trzeciego rzędu.

To nie tylko ciekawostka arytmetyczna. Chodzi o to, jak przesunięcie poziomu podstawowego zmienia integralność strukturalną sekwencji liczb. Przesuwając cały zbiór o stałą wielkość, utrzymujemy równość sum potęg po obu stronach, jednocześnie zwiększając porządek tożsamości.

Jaki jest wynik? Bardziej złożone równanie, które wytrzymuje obliczenia trzeciego stopnia. Liczby się zmieniają, ale równowaga pozostaje. Czasami, aby odkryć głębszy wzór, wystarczy dodać dziesięć do każdego wyrazu.

Poza wieloma stopniami: dziwny świat numerycznych cudów

Jeśli myślałeś, że widziałeś już wszystko, co możliwe w standardowych równaniach sumy mocy, przyjrzyj się bliżej. Matematyka nie kończy się na kilku zmiennych. Ona się kręci.

Spójrzmy jeszcze raz na przykład. S 1 równa się 84. S 2 wzrasta do 1152. S 3? To jest 17 766.

Możemy tak trwać w nieskończoność. Tworzenie wielostopniowych coraz wyższych porządków. Konstrukcja została zachowana.

Oto sekret: pomnóż lub podziel każdy wyraz przez tę samą liczbę. Równość pozostaje niezmieniona. Jest elastyczny.

Istnieją różne odmiany. Można znaleźć palindromiczne wielostopnie. Czyta się je tak samo zarówno od przodu, jak i od tyłu. A może wolisz liczby pierwsze. Możliwe jest konstruowanie wielostopni składających się wyłącznie z nich.

Ale wśród liczb całkowitych kryją się inne osobliwości. Narcystyczne liczby.

Są to liczby, które można przedstawić za pomocą pewnych matematycznych manipulacji cyframi. Weźmy liczbę całkowitą. Liczba całkowita. Podnieśmy każdą liczbę do n potęgi. Dodajmy je. Jeśli wynik jest równy pierwotnej liczbie, znalazłeś idealny niezmiennik cyfrowy.

Weźmy pod uwagę 153.

1ł + 5ł + 3ł = 153.

To działa. Liczby są podnoszone do siebie i sumowane do ich pierwotnej wartości.

Następnie mamy powtarzający się niezmiennik cyfrowy. Tworzy cykl.

Świat rozrywkowej matematyki uwielbia dobre sztuczki, a cyfrowe niezmienniki są duszą towarzystwa. Joseph Madachi w swojej książce „Matematyka na wakacjach” zauważa, że ​​nie są to tylko odosobnione ciekawostki. Występują w różnych odmianach, które zapewniają matematykom rozrywkę na wiele godzin.

Potęga sumy liczb

Szczególnie interesujący jest jeden szczególny typ takich liczb. Jest to liczba równa n potęgi sumy jej cyfr.

Pomyśl o tym w ten sposób. Weź numer. Dodaj jego liczby. Podnieś wynikową sumę do określonej potęgi. Jeśli wynik ponownie będzie odpowiadał pierwotnej liczbie, oznacza to, że znalazłeś dopasowanie. To jest pętla. Cyfrowe echo.

„Ciekawość ilustruje liczba równa n potęgi sumy jej cyfr.”

To nie jest jakaś przypadkowa właściwość. Definiuje pewną klasę liczb całkowitych, które zachowują się nietypowo podczas wykonywania podstawowych operacji arytmetycznych. Kluczową zmienną jest tutaj „n”. Określa stopień wykładnika. Zmień stopień, a liczba zwykle nie będzie już zgodna ze wzorcem. To właśnie sprawia, że ​​jest on cyfrowo niezmienniczy. Suma pozostaje stała w odniesieniu do transformacji określonej przez n.

Madachi podkreśla to zjawisko, ponieważ pokazuje, jak proste zasady — dodawanie liczb, a następnie podnoszenie ich do potęgi — mogą prowadzić do stabilnych punktów. Liczby te są utrwalone na tle chaosu obliczeń. Są rzadkie. Ale istnieją. A kiedy już znajdziesz jednego, zaczniesz szukać innych. Polowanie staje się grą.

Prawdopodobnie słyszałeś o liczbach automorficznych. Są to liczby całkowite, których kwadraty kończą się tymi samymi cyframi, co liczba pierwotna. Weźmy 25. Podnieśmy do kwadratu i otrzymamy 625. Dwie ostatnie cyfry? Wciąż 25. Spróbuj 76. Kwadrat wynosi 5776. Ponownie kończy się na 76. To nie są tylko przypadkowe zbiegi okoliczności. Są to matematyczne dziwactwa, które wydają się niemal mistyczne.

Następnie są liczby stegogramów. Wyglądają tak samo, jeśli obrócisz je o 180 stopni. Pomyśl o 69. Odwróć to. To 96. Czekaj, to nie jest dokładnie to, czego potrzebujesz, aby „przeczytać to samo”. Spójrzmy na 96 obrócone o 180 stopni. Czy to wygląda jak 96 do góry nogami? Nie, właściwie 6 zamienia się w 9, a 9 zamienia się w 6. Zatem 69 obrócone o 180 stopni wygląda jak 69? Nie, 69 obrócone o 180 stopni wygląda jak 69. Tak. A 96, obrócone, wygląda jak 96. Również 1001. Odwróć to. Wciąż 1001. Te właściwości sugerują, że liczby mają ukrytą osobowość.

Wyzwanie Cztery Dziewiątki

To wprowadza nas w świat cyfrowych wyzwań. Najbardziej znanym z nich jest problem czterech dziewiątek. Możesz znać to jako „cztery 9” lub „cztery 4”, w zależności od liczby. Cel jest prosty, ale zwodniczo złożony. Wyobraź sobie możliwie największy ciąg liczb całkowitych, zaczynając od 1. Każdą liczbę całkowitą musisz przedstawić za pomocą dokładnie czterech identycznych cyfr.

Ale tu jest problem. Odpowiedź zależy całkowicie od reguł działania, z których możesz korzystać.

Jeśli używasz tylko podstawowej arytmetyki, sekwencja szybko się kończy. Musisz być kreatywny. Silnie? Pierwiastki kwadratowe? Punkty dziesiętne? Powiązanie? Każda dozwolona operacja otwiera nowe możliwości.

Przyjrzyjmy się częściowym przykładom dla czterech jednostek. Zaczyna się łatwo.
1 = 1 + 1 – 1 – 1 (Nie, to jest 0).
1 = 1 * 1 * 1 * 1.
2 = 1 + 1 + 1 – 1.

Ograniczenia zmuszają do myślenia nieszablonowego. Jakie operacje są dozwolone? Czy można użyć podwójnej silni? Czy można połączyć dwie jednostki, aby uzyskać 11? Konkretne zasady zmieniają cały krajobraz układanki.

Dlaczego zasady mają znaczenie

Istnieją różne wersje tej zagadki. Niektóre pozwalają tylko na +, -, *, /. Inne obejmują potęgi, logarytmy lub funkcję gamma. Im więcej masz narzędzi, tym wyższe liczby możesz uzyskać. To nie tylko matematyka. Tu chodzi o granice notacji.

Stegogram i liczby automorficzne to statyczne ciekawostki. Po prostu istnieją na osi liczbowej. Problem czterech dziewiątek jest dynamiczny. To wymaga działania. Wymaga to nagięcia zasad prezentacji.

Nie bez powodu te zagadki pozostają aktualne. Odwołują się do tej części mózgu, która lubi rozpoznawać wzorce w ściśle określonych granicach. To jest gra z ograniczeniami. Im bardziej ograniczasz liczby, tym bardziej musisz poszerzać swoje zrozumienie tego, co jest możliwe.

Czy tajemnica liczb automorficznych wydaje Ci się satysfakcjonująca? Lub aktywny

Czy myślisz, że złamałeś kod za pomocą czterech czwórek? Przemyśl swoje myśli.

Oryginalna lista z artykułu M. Bicknella i W. Hogatta z 1964 r. w Recreational Mathematics Magazine była tylko wierzchołkiem góry lodowej. Pokazali jeden sposób na osiągnięcie sześćdziesięciu czterech celów. Ale prawdziwa radość kryje się w alternatywnych rozwiązaniach.

Weźmy liczbę siedem. Standardowe podejście może wykorzystywać dodawanie i pierwiastki kwadratowe. Ale równie łatwo możesz użyć silni. Lub podział.

Rozważ to:

7 = 4 + √4 + 4/4

To działa. Ale to również działa:

7 = 4!/4 + 4/4

A oto kolejny zwrot akcji:

7 = 44/4 – 4

Symbol silni (!) działa tutaj jak joker. Zamienia liczbę pierwszą na iloczyn wszystkich liczb całkowitych prowadzących do niej. Zatem 4! to po prostu 4 x 3 x 2 x 1. To daje 24. Nagle w swoim zestawie narzędzi masz nowe narzędzia.

Co się stanie bez silni?

Jeśli wyeliminujesz silnię z zasad, nie przegrywasz gry. Po prostu skracasz pole.

Nadal możesz wyrazić każdą liczbę całkowitą od jednego do dwudziestu dwóch za pomocą czterech czwórek. Wymaga to kreatywności w zakresie ułamków dziesiętnych i pierwiastków.

Spójrz na dwadzieścia dwa. Bez silni polegasz na przecinku dziesiętnym i pierwiastku kwadratowym.

22 = (4 + 4) / 0,4 + √4

Ułamek dziesiętny 0,4 jest zasadniczo równy 0,4. Dzielenie 8 przez 0,4 daje 20. Dodaj pierwiastek kwadratowy z 4 (czyli 2) i gotowe. To nie jest ładne. To trudne. To działa.

A co jeśli ponownie rozszerzymy zasady? Możliwości eksplodują. Nie jesteś już ograniczony do podstawowej algebry. Operacje można nakładać na siebie. Można je przykuć.

Następny poziom: kolejne liczby całkowite

Istnieje powiązany problem z łamigłówką czwórek. Ona odwraca scenariusz.

Zamiast czterokrotnie używać tej samej cyfry, używasz pierwszych dodatnich liczb całkowitych m. Zasada jest prosta: m musi być większe niż trzy.

Używasz elementarnych symboli algebry. Układasz liczby 1, 2, 3 i 4.

To zmienia zadanie z powtarzania na spójność. Nie możesz po prostu dodać czwórek. Musisz wplecić liczby 1, 2, 3 i 4 w równanie funkcjonalne.

To inny rodzaj gimnastyki umysłu. A to dopiero się zaczyna.

Istnieje ponad 100 sposobów na ułożenie liczb od 1 do 9 w celu uzyskania dokładnie 100. Ale to nie jest nawet najtrudniejsza część. Te łamigłówki wymagają wysiłku umysłowego. Aby je rozwiązać, nie potrzebujesz zaawansowanej matematyki.

Początki kryptoarytmetyki

Termin „kryptoarytmetyka” pojawił się w 1931 roku. Wszystko zaczęło się od problemu mnożenia opublikowanego w belgijskim czasopiśmie Sphinx. Publikacja ta znana była z łamigłówek.

„Kryptoarytmetyka” została wprowadzona w 1931 r., kiedy w belgijskim czasopiśmie Sphinx pojawiło się następujące zadanie mnożenia

Zadanie wyglądało na proste. Były to po prostu litery reprezentujące cyfry. Rozwiązanie wydawało się rozwiązaniem kodu. Wymaga dużej pomysłowości. Sama arytmetyka jest minimalna. Szukasz wzorów. Dopasowujesz się do ograniczeń.

Te łamigłówki mają wiele odmian. Niektórzy proszą Cię o znalezienie kwoty. W innych – dzieło. Cel jest zawsze ten sam: znaleźć liczbę ukrytą za każdą literą. To gra logiczna, a nie sprawdzian umiejętności liczenia.

Zadania kryptoarytmetyczne to łamigłówki matematyczne, w których liczby zastępuje się literami lub symbolami. Większość z nich opiera się na podstawowych operacjach: dodawaniu, odejmowaniu, mnożeniu czy dzieleniu. Ich rozwiązanie wymaga logiki, a nie zgadywania.

Proces rozpoczyna się od analizy. Weźmy prosty przykład. Rozważasz prace częściowe. Jeśli D × A równa się D, to A musi wynosić 1. Jest to fakt bezsporny.

Następnie spójrz na C. Jeśli D × C i E × C kończą się na C, wówczas C jest zwykle równe 5. Zero jest odpowiednie, jeśli obie cyfry są parzyste. Pięć jest w porządku, jeśli oba są dziwne. Tutaj C = 5.

Teraz o D i E. Powinny być dziwne. Ale nie 9, ponieważ iloczyny częściowe mają tylko trzy cyfry. Są więc równe 3 lub 7. Który z nich jest który?

Sprawdź B. Jeśli D × B jest liczbą jednocyfrową, to B musi być małe. Jeśli E × B jest liczbą dwucyfrową, to E jest większe. Dlatego E = 7 i D = 3.

B nie może wynosić zero. Zostały już tylko 2. Zatem B = 2.

Uzupełnij swoje obliczenia. F = 8. G = 6. H = 4. Odpowiedź: 125 × 37 = 4625.

Niniejsza analiza opiera się na książce 150 Puzzles in Crypt-Arithmetic autorstwa Maxie Brooke. Dover opublikował ją w 1963 roku. Nie bez powodu pozostaje klasyką.

Analiza zadania WYŚLIJ + WIĘCEJ = PIENIĄDZE

Te łamigłówki są starsze niż książka Brooke. Czasem odnajduje się je nawet w źródłach poprzedzających zapisy. Specyficznym rodzajem tego typu problemów są szyfry alfabetyczne (alfametyczne). Litery tworzą prawdziwe słowa. Jedna z najstarszych i najbardziej znanych to WYŚLIJ + WIĘCEJ = PIENIĄDZE.

To proste równanie. Ale jest to zwodniczo skomplikowane.

S = 9. E = 5. N = 6. D = 7. M = 1. O = 0. R = 8. Y = 2.

9567 + 1085 = 10652.

Sprawdź matematykę. Wszystko do siebie pasuje. Każda litera ma unikalny numer. Nie ma zer wiodących. M nie może wynosić zero. S nie może wynosić zero. Ograniczenia gwałtownie się zaostrzają.

Dlaczego ta zagadka pozostaje aktualna? Jest zwięzła. Używa popularnych słów. Przypomina mi kod. Nie zajmujesz się tylko arytmetyką. Rozszyfrujesz wiadomość.

Są inne alfabety. KRZYŻ + RÓŻE = ARSENIK. JEŚĆ + TO = CIASTO. Różnią się stopniem trudności. Niektóre są banalne. Inne wymagają godzin pracy. Jednakże logika jest taka sama. Znajdź punkty kontrolne. Liczba, która dyktuje inną. Transfer, który przełamuje schemat.

Ludzie nadal je rozwiązują. Nie tylko ze względu na matematykę. W imię satysfakcji. Moment, w którym wszystkie elementy łączą się w całość. Kiedy ukryte słowo zostanie ujawnione. To jest trening mentalny. Krótki. Jasne. Dogadzający.

Zagadka nie kończy się odpowiedzią. Kończy się zrozumieniem. Jak litery oddziałują na siebie. Jak zachowują się liczby. To mały świat. Samowystarczalny. Logiczny.

A jednak. Spotkasz ją ponownie. W magazynie. Na forum. W klasie. Ta sama logika. Inne słowa. Inne liczby. To samo podekscytowanie.

Czy istnieje granica złożoności tych działań?

Standardowe zasady dotyczące alfabetycznych problemów arytmetycznych (alfametycznych) są rygorystyczne. Pierwsza litera żadnego słowa nie może wynosić zero. Dwie różne litery nie mogą oznaczać tej samej liczby. Naruszenie tych zasad wymaga szczegółowych instrukcji uzasadniających wydalenie. Niektóre łamigłówki są tak gęste, że pozwalają na wiele rozwiązań. Komputery radzą sobie z tymi złożonościami.

Pułapka fałszywej logiki

Matematycy od stuleci badają paradoksy i błędy. Paradoks sprawia, że ​​przestajesz. Logika jest bez zarzutu. Każdy krok jest prawidłowy. Jednak wniosek jest tak dziwny, że nie można w niego uwierzyć. To sprzeczne z intuicją. Wydaje się błędne.

Błąd (błąd logiczny) to coś innego. To jest błąd. Błędne rozumowanie prowadzi do wyniku, który jest oczywiście absurdalny. Błąd zwykle narusza jedną z podstawowych zasad matematyki lub logiki. Nowicjusze często w to wpadają. Nie zauważają ukrytej pułapki. Jeśli nie wiesz, która zasada została złamana, błąd pozostanie niezauważony.

Do tego dochodzi sofistyka. Błąd jest zamierzony. Wykonane celowo. Z pewnego powodu. Co się stanie, jeśli błędne obliczenia przypadkowo doprowadzą do prawidłowej odpowiedzi? Nazywa się to „szczęśliwym błędem” (wyciem). To sztuka popełniania właściwych błędów.

Nieskończoność stwarza wiele problemów. Procesy ograniczające rodzą paradoksy. Weźmy nieskończony szereg.

Nieskończona suma, która nigdy nie osiąga 2

Masz serię, która stale się rozwija. Im więcej terminów dodasz do sumy, tym wyższa będzie suma. To ciągła, nieubłagana wspinaczka. Ale tutaj jest haczyk: suma tak naprawdę nigdy nie osiąga 2. Pozostaje ściśle poniżej tej górnej granicy.

Ona jest już coraz bliżej. I jest coraz bliżej. I jest coraz bliżej.

Wyobraź sobie, że biegniesz w stronę ściany. Pokonujesz połowę dystansu, potem połowę pozostałego dystansu i znowu połowę. Zawsze idziesz do przodu. Zawsze jesteś bliżej celu. Ale nigdy tego nie dotykasz. To zachowanie jest typowe dla szeregu zbieżnego. W szczególności ograniczony powyżej przez liczbę 2.

„Suma zawsze pozostaje mniejsza niż 2, choć w miarę uwzględnienia większej liczby wyrazów szeregu jest coraz bliżej 2.”

To nie jest tylko sztuczka matematyczna. Jest to podstawowe pojęcie w analizie matematycznej. Chodzi o limity. Nie szukamy liczby skończonej, bo ona nie istnieje. Badamy zachowanie funkcji, gdy liczba wyrazów dąży do nieskończoności.

Dlaczego ma to znaczenie dla matematyki popkultury

OK, może nie interesuje cię zbieżność szeregów. Ale ta logika dotyczy wszystkiego. Pomyśl o poglądach na temat usług przesyłania strumieniowego. Oglądalność serialu może rosnąć z każdym tygodniem. Tempo wzrostu zwalnia. Wartość zbliża się do punktu nasycenia. Ale nigdy nie osiąga teoretycznego maksimum. Pozostaje trochę niżej.

Albo pomyśl o wpływach ze sprzedaży biletów. Film z tygodnia na tydzień zarabia coraz więcej. Tempo wzrostu spada. Suma powoli zbliża się do ostatecznej liczby. Ale dopóki nie zostanie sprzedany ostatni bilet, zawsze jest to ocena. Limit.

Te same zasady dotyczą liczby obserwujących celebrytę. Z każdym dniem zyskują coraz więcej fanów. Ale konto tak naprawdę nigdy nie przestaje rosnąć, dopóki dana osoba żyje i jest aktywna. Nawet wtedy suma historyczna jest migawką chwili. Chwila w czasie.

Kolejny rząd

Z drugiej strony liczba…

No cóż, tekst się urywa. Zwykle jednak w takich porównaniach „inny szereg” jest szeregiem rozbieżnym. Ktoś, kto nie przejmuje się ograniczeniami. Taki, który po prostu rośnie. Na zawsze. Brak sufitu. Bez ściany.

Po prostu niekończąca się ekspansja.

Co jest straszniejsze? Coś, czego nigdy nie będziesz w stanie osiągnąć? A może coś, co nigdy nie przestaje przychodzić?

Matematyka zawsze lubiła nieoczekiwane zwroty akcji. Myślisz, że wszystko rozumiesz? Pomyśl jeszcze raz. Weźmy serię znaną jako Rozbieżna: Bez limitu. Jeśli będziesz stale dodawać członków, liczba ta nie tylko będzie rosła. Ona eksploduje. Staje się większa niż jakakolwiek wartość, którą możesz wybrać. To pociąg bez hamulców, pędzący do przodu.

Następnie mamy paradoks liczb parzystych. To zagadka, która łamie Twoją intuicję.

Liczb parzystych jest tyle, ile jest liczb parzystych i nieparzystych razem wziętych.

Pomyśl o tym.

Zbiór liczb parzystych jest podzbiorem wszystkich liczb naturalnych. W naszym skończonym świecie całość jest zawsze większa niż jej części. Nie możesz mieć 5 jabłek i nadal mieć tę samą liczbę jabłek, jeśli liczysz tylko czerwone. Ale nieskończoność? Infinity nie dba o Twoje zasady.

Ta sprzeczność nie jest błędem. Jest to cecha zbiorów nieskończonych.

Ponieważ oba zbiory są nieskończone, są one równe zarówno z praktycznego, jak i matematycznego punktu widzenia.

To nie wydaje się właściwe. To nie wygląda dobrze. Ale matematycznie, jeśli możesz dopasować każdy element jednego zestawu do unikalnego elementu innego, będą one tego samego rozmiaru. Możesz ustalić zgodność jeden do jednego między liczbami naturalnymi (1, 2, 3…) i liczbami parzystymi (2, 4, 6…). Żadnych resztek. Brak spacji.

Całość jest tu niczym więcej jak tylko swoimi częściami. Części stanowią całość.

W tym miejscu ludzka logika uderza w ścianę. Ewoluowaliśmy, by liczyć jagody i dostrzegać drapieżniki, a nie poruszać się po abstrakcyjnych głębinach nieskończonych zbiorów. Kiedy masz do czynienia z nieskończoną liczbą obiektów, równość schodzi na dalszy plan w stosunku do zgodności.

Czy jest to więc paradoks? Technicznie tak. Jest to sprzeczne ze starożytną koncepcją, że całość jest większa niż którakolwiek jej część. Ale ta sprzeczność pojawia się tylko wtedy, gdy upierasz się przy stosowaniu skończonych reguł do nieskończonego płótna.

Gdy zaakceptujesz fakt, że nieskończoność zachowuje się inaczej, „sprzeczność” znika. To po prostu inny rodzaj równości.

Dlaczego ma to dla Ciebie znaczenie? To nie jest tylko żargon akademicki. To jest podstawa analizy matematycznej, zrozumienia szybkości zmian i sposobu, w jaki modelujemy wszechświat. Bez zrozumienia, że ​​pewne rzeczy nie pasują do siebie w tradycyjnym tego słowa znaczeniu, współczesna fizyka zostaje w błocie.

Ale nadal jest to dziwne.

Możesz kontynuować dzielenie segmentu na pół w nieskończoność. Nigdy nie dotrzesz do końca. Nigdy nie skończysz. A mimo to docierasz tam.

Jak to pogodzić ze sposobem poruszania się po świecie? Nie godzisz się. Po prostu akceptujesz matematykę i idziesz dalej.

Zenon z Elei wcale nie wierzył, że Achilles nigdy nie dogoni żółwia. Po prostu uwielbiał pułapki logiczne.

Około 450 roku p.n.e. sformułował cztery argumenty mające na celu zmylenie umysłu. Sprawa jest prosta: Achilles biegnie z żółwiem. Żółw zyskuje przewagę. Zeno twierdzi, że Achilles nigdy jej nie dogoni. Dlaczego? Ponieważ zanim dotrze do miejsca, w którym był żółw, ten już przeniósł się w nowe miejsce. Potem kolejny. I jeszcze jedno. Nieskończona liczba kroków. Brak mety.

To jest sofistyka. Sztuczka. Zeno wiedział, że jego rozumowanie jest błędne. Jego celem nie było udowodnienie niemożności ruchu. Starał się zidentyfikować braki w naszym rozumieniu przestrzeni i czasu.

Pozostałe trzy paradoksy dotyczą podobnych idei. Paradoks dialektyki stwierdza, że ​​ruch nie może się nawet rozpocząć. Najpierw musisz pokonać połowę dystansu, potem połowę pozostałej i tak w nieskończoność. Paradoks Strzały dowodzi, że w dowolnym momencie lecąca strzała jest w rzeczywistości nieruchoma. Jeśli czas składa się z chwil i w każdej z nich strzała jest w spoczynku, to nigdy się nie porusza. Następnie istnieje Paradoks stadionowy, który zniekształca nasze postrzeganie przedziałów czasowych. Zakłada, że ​​krótki okres czasu jest równy długiemu. Tylko żeby cię zmylić.

To nie były tylko gry słowne. Eksplorowali granice granic i nieskończoności. Pojęcia tak śliskie, że pozostają nierozwiązane przez tysiące lat. Dopiero w XIX wieku matematyka była w stanie ich dogonić. Pojawiła się rygorystyczna analiza. Teoria liczb pozaskończonych została uzasadniona. Dopiero wtedy moglibyśmy właściwie wyjaśnić, dlaczego nieskończona liczba kroków Zenona tak naprawdę nie przeszkodziła Achillesowi w zwycięstwie w wyścigu.

Ale zmieńmy temat. Przejdźmy od starożytnej Grecji do zajęć z algebry w szkole średniej.

Typowe błędy algebraiczne opierają się na podobnych zasadach ukrytych pułapek. Zwykle naruszają jedno lub więcej z tych podstawowych założeń:

Wszystko zaczyna się od prostej sprzeczności. Myślisz, że rozwiązujesz algebrę. Nie bardzo. Budujesz dom z kart w środku huraganu.

Weźmy zmienną a. I zmienna b. Standardowe rzeczy. Ale wtedy zasady ulegają zniekształceniu. Nagle a musi być większe niż b. A jednocześnie mniej b. Naraz. To nie tylko błąd. To niemożliwe. To jest pogwałcenie podstawowej rzeczywistości. Nie można być jednocześnie nad i pod linią.

To pierwszy przykład błędu logicznego. Czysta, ciężka przerwa.

Następnie pojawia się błąd drugiego rodzaju. Brudny. „Szczęśliwa erekcja”.

Nie, to nie jest literówka. To jest termin. Oznacza nielegalną operację. Masz szczęście. Przypadkowo natkniesz się na wynik, który wygląda dobrze, ale jest zasadniczo błędny. To jest hackowanie. Rozwiązanie, które nie zatrzymuje wody. Nie rozwiązujesz równania. Fałszujesz decyzję.

I będziesz wiedział, że to podróbka, ponieważ nie wytrzyma próby. Liczby się nie sumują. Logika się załamie. Podobnie jak a nie może być jednocześnie większe i mniejsze niż b.

To nie są tylko literówki. Są to wady konstrukcyjne. Jeśli będziesz na nich budować, wszystko się zawali.

Obsesja Pitagorejczyków na punkcie liczb w formie

Liczby to nie tylko abstrakcyjne symbole. Dla Pitagorejczyków, którzy żyli około 500 roku p.n.e. e., mieli charakter. Miały kształt.

To zainteresowanie nie było czymś nowym. Starożytni chińscy uczeni prawdopodobnie byli świadomi tych koncepcji. Już w XV wieku pojawiały się one w księgach arytmetycznych. Ale starożytni Grecy poszli dalej. Wierzyli, że wszystko można wyjaśnić liczbami. A te liczby miały pewne cechy.

Doprowadziło to do odkrycia liczb wielokątnych. Znane również jako liczby figurowe, przedstawiają wielkości ułożone w kształty geometryczne. Dziś koncepcja wydaje się prosta. Ale potem stało się to objawieniem.

Liczby zostały obdarzone pewnymi cechami i charakterem.

Weźmy trójkąt. To najprostsza figura. Pierwsza liczba trójkątna to 1. Druga to 3. Trzecia to 6. Następnie 10. Następnie 15. Następnie 21.

Wyobraź sobie to.

Kropki lub kropki ułożone w kształcie trójkąta.

To nie jest tylko lista. To jest wzór wizualny.

Ale dlaczego było to tak ważne dla Pitagorasa i jego zwolenników?

Ponieważ postrzegali wszechświat jako matematyczny. Jeśli potrafisz dopasować liczbę do postaci fizycznej, odkryłeś część prawdy. Nie chodziło tylko o liczenie. Chodziło o strukturę.

Pomysł ten stymulował badania przez wieki. Matematycy nie poprzestali na trójkątach. Szukali kwadratów. Pięciokąty. Sześciokąty. Każda postać ujawniała nowe relacje.

Pitagorejczycy rozumieli, że liczby mają „kształt”.

To odkrycie zmieniło sposób, w jaki myślimy o arytmetyce. Nie chodziło tylko o dodawanie i mnożenie. Chodziło o geometrię.

A wszystko zaczęło się od kropek.

Jeśli przyjrzysz się uważnie sekwencji liczb trójkątnych – 1, 3, 6, 10 – możesz odkryć ukryty wzór geometryczny, który wyjaśnia, dlaczego kwadraty są tak powszechne w przyrodzie i matematyce. To połączenie nie jest przypadkowe. To strukturalne.

Liczby kwadratowe, czyli kwadraty liczb naturalnych, takich jak 1, 4, 9, 16 i 25, mają reprezentację wizualną. Można je układać w idealne kwadratowe układy kropek. Te wizualne dowody są często demonstrowane na wprowadzających kursach geometrii, ale głębsze powiązanie leży gdzie indziej.

Związek między trójkątami i kwadratami

Prawdziwa magia dzieje się, gdy połączysz sąsiednie liczby trójkątne. Weź dwie pierwsze liczby trójkątne: 1 i 3. Dodaj je. Wynik to 4. To jest liczba kwadratowa.

Teraz wypróbuj następną parę. Druga liczba trójkątna to 3. Trzecia to 6. Dodaj je. Otrzymujesz 9. Kolejna liczba kwadratowa.

To nie jest przypadek. Suma dwóch sąsiednich liczb trójkątnych jest zawsze równa liczbie kwadratowej.

„Suma dwóch sąsiednich liczb trójkątnych jest zawsze liczbą kwadratową.”

Ta geometryczna prawda wyjaśnia, dlaczego kwadraty są tak powszechne w systemach liczących. Nie chodzi tylko o podniesienie zmiennej do kwadratu. Chodzi o nakładające się kształty. Jeśli ułożysz kropki w trójkąt, a następnie umieścisz obok nich kolejny, nieco większy trójkąt, to idealnie do siebie pasują, tworząc większy kwadrat.

Ta właściwość bezpośrednio łączy teorię liczb z przestrzenią wizualną. Zamienia abstrakcyjną arytmetykę w fizyczną łamigłówkę. Aby to zobaczyć, nie potrzebujesz kalkulatora. Musisz to po prostu narysować.

Dlatego wciąż wracamy do tych podstawowych form. Są podstawą wszystkiego innego.

Dlaczego liczby prostokątne są ważne w matematyce popkultury

Nieczęsto słyszy się o liczbach prostokątnych w każdym scenariuszu filmowym, ale są one ukryte na widoku, jeśli chodzi o siatki, tablice, a nawet po prostu podstawową geometrię. Pomyśl o nich jak o prostokątnych krewnych liczb trójkątnych. To nie są tylko abstrakcyjne pojęcia. Są to konkretne liczby całkowite reprezentujące punkty znajdujące się w prostokącie, którego jeden bok jest dokładnie o jeden dłuższy od drugiego.

Sekwencja zaczyna się od małych liczb: 2, 6, 12, 20, 30. Wszystko jest dość proste. Ale przyjrzyj się bliżej. Każda liczba jest iloczynem dwóch kolejnych liczb całkowitych. 1 razy 2 równa się 2. 2 razy 3 równa się 6. 3 razy 4 równa się 12. Jest to wzór, który powtarza się z mechaniczną precyzją.

„Liczby prostokątne powstają przez podwojenie dowolnej liczby trójkątnej”.

To połączenie jest kluczowe. Jeśli weźmiesz liczbę trójkątną – na przykład 1, 3, 6, 10 – i podwoisz ją, otrzymasz liczbę prostokątną. 1 podwojone daje 2. 3 podwojone daje 6. 6 podwojone daje 12. Matematyka to potwierdza. Jest to bezpośredni związek między dwiema podstawowymi postaciami w teorii liczb.

Niektórzy mogą zapytać, dlaczego ma to znaczenie poza podręcznikiem. Właściwie to nie. Ale fajnie jest wiedzieć, że 20 lat to nie tylko przypadkowy wiek czy rok. To jest 4 razy 5. To także 2 plus 4 plus 6 plus 8. Suma pierwszych czterech liczb parzystych. Jest to drugi sposób konstruowania tych liczb. Możesz mnożyć kolejne pary lub dodawać liczby parzyste. Obie ścieżki prowadzą do tego samego prostokątnego wyniku.

Nie chodzi tylko o kropki na stronie. Chodzi o strukturę. Prostokąty wszędzie — od proporcji ekranu filmowego po układy arkuszy kalkulacyjnych — opierają się na tego typu myśleniu proporcjonalnym. Liczby prostokątne stanowią matematyczne ramy tej proporcji. Są ukrytym porządkiem za chaosem codziennych form.

Geometria liczb nieparzystych

Pomyśl o gnomonie jako o figurze geometrycznej w kształcie litery L. To nie jest tylko przypadkowa krzywa. Odzwierciedla kąt prosty kwadratu stolarskiego. Pitagorejczycy używali tych figurek nie tylko do dekoracji. Postrzegali je jako elementy konstrukcyjne.

Matematyka jest zaskakująco prosta, gdy zrozumiesz wzór.

Zacznij od małego kwadratu. Dodaj gnomon. Otrzymasz większy kwadrat. Liczby mają ścisły rytm. Możesz budować kwadraty, nakładając te figury na mniejsze. Pozwoliło im to wydedukować złożone zależności bez użycia współczesnej algebry.

Rozważmy ciąg kwadratów.

• 1 kwadrat plus 3 równa się 2 kwadrat
• 2 do kwadratu plus 5 równa się 3 do kwadratu
• 3 do kwadratu plus 7 równa się 4 do kwadratu

To reakcja łańcuchowa. Ale można na to spojrzeć z innego punktu widzenia.

Możesz sumować kolejne liczby nieparzyste, aby uzyskać idealny kwadrat.

• 1 plus 3 równa się 3 do kwadratu
• 1 dodać 3 dodać 5 równa się 4 do kwadratu
• 1 dodać 3 dodać 5 dodać 7 równa się 5 do kwadratu
• 1 plus 3 plus 5 plus 7 plus 9 równa się 6 do kwadratu

Lista jest długa. To eleganckie. To jest czyste.

Ta szczególna właściwość gnomonów w matematyce pitagorejskiej prawdopodobnie zapoczątkowała odkrycie najsłynniejszego twierdzenia w historii. To nie przypadek, że Pitagoras odkrył związek między bokami trójkąta prostokątnego. Myślał o liczbach kwadratowych.

Zauważył, że dodanie kwadratu nieparzystego do kwadratu parzystego może stworzyć trzeci kwadrat. Wizualny dowód znajdował się tuż przed nim w kształcie litery L.

a kwadrat plus b kwadrat równa się c kwadrat.

Geometria wyjaśniła algebrę. Albo raczej geometria była algebrą. Nie mieli symboli zmiennych. Mieli figurki. A te liczby opowiedziały historię o liczbach.

Dlaczego to była taka wielka sprawa? Ponieważ łączyło dodawanie z mnożeniem. Łączył linie z obszarami. Zamieniło abstrakcyjne obliczenia w namacalną przestrzeń.

Kluczem był gnomon. Otworzyło to drzwi do zrozumienia, jak rosną liczby. Jak one do siebie pasują? Jak tworzą strukturę z chaosu.

Dziwnie jest myśleć, że tak prosty kształt litery L skrywa w sobie tyle mocy. Ale z drugiej strony, w prostocie często kryją się najgłębsze prawdy.

Matematyka staje się tutaj zaskakująco precyzyjna. Rozważamy przypadek, w którym $a^2 + b^2 = c^2$, ale z jednym zastrzeżeniem: $a^2$ jest równe $b + c$. To wąska nisza trójek pitagorejskich. Jednak Grecy nie ograniczali się tylko do trójkątów prostokątnych. Obsesyjnie studiowali kształty. Liczby pięciokątne. Liczby sześciokątne. Bezpośrednio odwzorowali wzory geometryczne na algebrę. To nie była sztuka abstrakcyjna. To była arytmetyka z krawędziami.

Liczby te należą do szerszej klasy liczb figurowych. Liczby wielokątne to tylko jedna z podklas. Lista zaczyna się od prostych postępów arytmetycznych, ale wzór pozostaje niezmienny.

Sumy tych szeregów nie tworzą prostych postępów arytmetycznych. Tworzą bardziej uporządkowane obiekty. Wynikiem są liczby wielokątne. W szczególności liczby trójkątne i kwadratowe. Ale matematyka nie ogranicza się do dwóch wymiarów.

Od wielokątów po piramidy

Jeśli ponownie dodamy te ciągi, przeniesiemy się w przestrzeń trójwymiarową. Rezultatem będą liczby kręcone. Nazywamy je liczbami piramidowymi.

To nie tylko ciekawostka historyczna. Liczby te są bezpośrednio powiązane ze współczesną teorią liczb. Wyjaśnienie nawet podstawowych właściwości liczb całkowitych może wymagać skomplikowanej matematyki.

Rozważ tę zasadę. Każda liczba całkowita należy do jednej z trzech kategorii. To jest:

1. Liczba trójkątna.
2. Suma dwóch liczb trójkątnych.
3. Suma trzech liczb trójkątnych.

Dowód jest elegancki, ale złożony. Oto jak to wygląda w praktyce.

„8 = 1 + 1 + 6”
„42 = 6 + 36”
„43 = 15 + 28”
„44 = 6 + 10 + 28”

Cztery równa się sześć. Zatrzymywać się. Nie. Czternaście to sześć plus osiem. To są dwa trójkąty. Ale czterdzieści cztery wymaga trzech. Sześć plus dziesięć plus dwadzieścia osiem.

Trójki pitagorejskie

Przejdźmy od sum do kwadratów. Twierdzenie Pitagorasa otwiera drzwi, o których istnieniu nie miałeś pojęcia. Trójka pitagorejska jest utworzona z boków trójkąta prostokątnego, którego długości boków są liczbami całkowitymi.

Znajdź trzy dodatnie liczby całkowite a, b i c takie, że:

a ² + b ² = c ²

Jeśli te liczby nie mają wspólnego dzielnika innego niż 1, tworzą pierwotną trójkę pitagorejską. Wzajemnie liczby pierwsze. Jest to kluczowe ograniczenie.

Potrzebujemy sposobu, aby wygenerować je wszystkie. Nie jest łatwo znaleźć jednego czy dwa. Wszystko możliwe.

Istnieje formuła. Działa, generując wszystkie pierwotne trójki pitagorejskie.

Jeśli m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi, takimi że m > n oraz m i n są liczbami względnie pierwszymi, a jedna z nich jest parzysta, a druga nieparzysta, to:

a = m ² – n ²
b = 2m n
c = m² + n*²

Spróbuj m = 2, n = 1.

a = 4 – 1 = 3
b = 2(2)(1) = 4
c = 4 + 1 = 5

3, 4, 5. Klasyczna trójka.

Spróbuj m = 3, n = 2.

a = 9 – 4 = 5
b = 2(3)(2) = 12
c = 9 + 4 = 13

5, 12, 13.

Wydaje się to dość proste, dopóki nie spróbujesz udowodnić, że ten wzór obejmuje wszystkie możliwe przypadki bez duplikatów. Warunki dla m i n są rygorystyczne. Odfiltrowują zbiory inne niż prymitywne. Zapewniają status pierwszeństwa.

Dlaczego dbamy o generatory? Ponieważ gdy zdobędziesz generator, otrzymasz strukturę. Możesz prześledzić ścieżkę do dowolnych trzech.

Wzór na wygenerowanie takich trójek opiera się na wyborze dwóch konkretnych liczb całkowitych p i q i ścisłym przestrzeganiu określonych zasad. Tutaj nie wystarczy po prostu wziąć dowolne dwie liczby. Musisz być ostrożny.

Pierwsza zasada mówi, że p i q muszą być względnie pierwsze. Oznacza to, że nie mają one wspólnych dzielników innych niż jeden. Druga zasada jest jeszcze bardziej szczegółowa: nie mogą być obie liczby parzyste ani nieparzyste. To wymusza, aby jedna z liczb była parzysta, a druga nieparzysta. Na koniec musisz wybrać p, aby było większe niż q.

Kiedy wszystkie te warunki są spełnione, matematyka łączy się w jeden obraz.

Dlaczego parzystość jest ważna podczas generowania trójek

Wymóg różnych parzystości (jednej parzystej, drugiej nieparzystej) nie jest arbitralny. Gdyby p i q były nieparzyste, kwadraty tych liczb dałyby sumę podzielną przez 4, co dałoby potrójną liczbę, której wspólny współczynnik wszystkich stron wynosi 2. Narusza to warunek „prymitywny”. To samo dzieje się, jeśli oba są parzyste, ponieważ w tym przypadku możesz po prostu anulować wszystkie dwójki.

Wymuszając, aby jedna liczba była parzysta, a druga nieparzysta, upewniasz się, że boki wyniku nie mają wspólnego dzielnika. Rezultatem jest prymitywna trójka pitagorejska.

Przykłady wygenerowanych trójek

Poprawny wybór p i q daje zbiory klasyczne. Na przykład, jeśli wybierzesz p = 2 i q = 1:

• Pierwszy bok jest równy $p^2 – q^2 = 3$
• Drugi bok jest równy 2 $pq = 4 $
• Przeciwprostokątna jest równa $p^2 + q^2 = 5$

Otrzymujesz trójkąt 3-4-5. To najprostsza opcja. Każdy go zna. Ale to działa, ponieważ 2 i 1 są względnie pierwsze i mają różne parzystości.

Spróbuj p = 3 i q = 2.

• Strona A: 9 USD – 4 = 5 USD
• Strona B: 2(3)(2) $ = 12 $
• Przeciwprostokątna: 9 USD + 4 = 13 USD

To daje trzy 5-12-13. Kolejny prymitywny zestaw.

Wzór został zachowany. Wystarczy znaleźć takie pary liczb względnie pierwszych o różnych parzystościach, a geometria ujawni się przed tobą.

Może ci się wydawać, że prymitywne trójki pitagorejskie są rozmieszczone losowo wzdłuż osi liczbowej, ale tak nie jest. Jest tylko jeden przypadek, w którym trzy kolejne liczby całkowite tworzą taką trójkę. To klasyczny zestaw 3, 4, 5. Nic więcej.

Gdy przekroczysz ten jeden wyjątek, zasady stają się interesujące. Nawet w przypadku standardowej trójki pierwotnej, gdzie a i b to nogi, a c to przeciwprostokątna, zawsze obowiązują pewne ograniczenia arytmetyki modułowej. Możesz na to liczyć.

Podzielne przez 3, 4 i 5

Jedna ze stron, a lub b, jest zawsze podzielna przez 3. Druga strona jest zawsze podzielna przez 4. A jeśli spojrzysz na wszystkie trzy strony, jedna z nich jest zawsze podzielna przez 5. Nie jest to tylko zbieg okoliczności w przypadku małych liczb. Jest to zasada strukturalna.

Z tego powodu iloczyn trzech boków (abc ) jest zawsze podzielny przez 60. Jest to czysty, przewidywalny wzór w obszarze, który często wydaje się chaotyczny.

Numer 7

Potem przychodzi 7. Tutaj sprawy stają się nieco bardziej skomplikowane. Jedna z poniższych wartości musi być podzielna przez 7:
* a
* b
* a + b
* a – b

Nie zawsze są to same strony. Czasem jest to suma lub różnica. Ale 7 zawsze pojawia się w jednej z tych form.

Istnieje również formuła generująca prawidłowe trójki pitagorejskie dla dowolnej liczby całkowitej n. Jeśli wstawisz do niego liczbę, otrzymasz:
1. 2n + 1
2. 2n ² + 2n
3. 2n ² + 2n + 1

Zawsze tworzą trójkąt prostokątny. Jest to niezawodny sposób na generowanie trójek bez konieczności zapamiętywania list.

Ograniczenia starożytnej Grecji

Grecy wiedzieli o tym na długo przed pojawieniem się kalkulatorów. Wiedzieli, że przeciwprostokątna prymitywnej trójki jest zawsze nieparzystą liczbą całkowitą. Nie mieli pełnego, współczesnego dowodu, ale mieli intuicję.

Dziś mamy dokładny warunek. Nieparzysta liczba całkowita R służy jako przeciwprostokątna pierwotnej trójki wtedy i tylko wtedy, gdy każdy czynnik pierwszy R ma postać 4k + 1. To ogranicza liczbę nieparzystych, które w ogóle mogą pojawić się na tej pozycji. To natychmiast odcina połowę liczb nieparzystych.

Liczby doskonałe i liczby pierwsze Mersenne’a

Większość liczb całkowitych jest albo liczna, albo rzadka. Różnica jest prosta. Liczby obfite mają swoje własne dzielniki (z wyłączeniem samej liczby), których suma jest większa niż sama liczba. Suma dzielników właściwych liczby niewystarczającej jest mniejsza.

Idealna liczba jest dokładnie pośrodku. Jest równa sumie swoich własnych dzielników.

Weź 24. Jego dzielniki (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12) sumują się do 36. Jest go mnóstwo.
Weź 32. Suma jej własnych dzielników wynosi 31. To nie wystarczy.

Potem przychodzi 6. 1 + 2 + 3 = 6. Idealnie.
Następnie 28. 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Również idealnie.

Następne dwa to 496 i 8128. Starożytni znali pierwsze cztery. Nie wiedzieli, czy lista ciągnęła się wiecznie, czy też następny numer miał milion cyfr.

Euklides i Euler

Euklides postawił hipotezę. Założył, że liczby w postaci 2n -1(2n -1) są doskonałe pod warunkiem, że 2n -1 jest liczbą pierwszą. Miał rację co do pokolenia, ale nie udowodnił, że to jedyny sposób.

Dowód ten przyszedł znacznie później. W XVIII wieku Leonhard Euler wykazał, że każda parzysta liczba doskonała musi odpowiadać wzorowi Euklidesa. Jeśli więc szukasz parzystej liczby doskonałej, wystarczy poszukać wśród liczb pierwszych Mersenne’a.

Liczba Mersenne’a to dowolna liczba w postaci 2n -1, nazwana na cześć Marina Mersenne’a. Mogą być proste lub złożone. Aby 2n -1 było liczbą pierwszą, samo n musi być liczbą pierwszą. Jest to warunek konieczny, choć niewystarczający. To, że n jest liczbą pierwszą, nie oznacza, że ​​2n -1 też jest liczbą pierwszą. Ale jeśli 2n -1 jest liczbą pierwszą, to n musi być liczbą pierwszą.

W ten sposób tworzy się korespondencja jeden do jednego. Każda liczba pierwsza Mersenne’a generuje liczbę parzystą doskonałą. Każda parzysta liczba doskonała pochodzi z liczby pierwszej Mersenne’a.

Szukaj gigantów

Przed erą komputerów znalezienie tych liczb było zadaniem ręcznym. Przez długi czas znanych było tylko 12 liczb doskonałych. Następnie w 1876 roku Edouard Lucas zaproponował test pierwszości dla liczb Mersenne’a.

Raphael M. Robinson użył tego testu i przeprowadził go na wczesnych elektronicznych komputerach cyfrowych. Do 1952 roku znalazł liczby pierwsze Mersenne’a dla n wartości 521, 607,

Problem królika, od którego wszystko się zaczęło

Łatwo zapomnieć, że ciąg Fibonacciego nie pojawił się na zajęciach z informatyki. Zaczęło się od książki. W 1202 roku Leonado z Pizy, lepiej znany pod pseudonimem Fibonacci, opublikował książkę Liber abaci. To nie była tylko sucha instrukcja matematyczna. Oznaczało to punkt zwrotny w handlu europejskim, wprowadzając cyfry indoarabskie na kontynent, na którym nadal używano cyfr rzymskich. Ale w tym poważnym tekście finansowym ukryta była zabawna tajemnica dotycząca reprodukcji królików.

Pytanie było na tyle proste, że można je było wyjaśnić przy kolacji. Wyobraź sobie, że zaczynasz od jednej pary królików. Co miesiąc ta para produkuje nową parę. Oto haczyk: noworodki zaczynają się rozmnażać dopiero w wieku dwóch miesięcy. Tak więc w pierwszym miesiącu masz jedną parę. W drugim – pierwotna para i ich potomstwo. W trzecim przypadku pierwotna para rodzi kolejny miot, a pierwsze potomstwo jest już na tyle dorosłe, że może mieć własny.

Wykonaj obliczenia. To nie jest trudne. Otrzymujesz pewną sekwencję liczb, która stale występuje w naturze, kodzie i sztuce.

Jak rozwija się sekwencja

Spójrzmy na postęp. Jest rekursywny, co jest skomplikowanym sposobem powiedzenia, że ​​każda liczba jest sumą dwóch poprzednich.

• 1 miesiąc: 1 para (oryginalna)
• 2 miesiąc: 2 pary (oryginał i pierwsze potomstwo)
• Miesiąc 3: 3 pary (oryginał, pierwsze potomstwo, drugie potomstwo)
• 4 miesiąc: 5 par

Sekwencja wygląda następująco: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 i tak dalej. Ona jest czysta. Jest logiczna. I jest wszędzie, jeśli wiesz, gdzie szukać.

Nieskończone właściwości liczb Fibonacciego

Ta druga linijka? To jest wprowadzenie do ciągu, który teraz nazywamy liczbami Fibonacciego. Każda liczba występująca po pierwszych dwóch jest po prostu sumą dwóch poprzednich. Prosta matematyka. x _n = x _n−1 + x _n−2. Ale nikt nie wiedział, że ta zasada jest kluczem aż do około 1600 roku.

Prawdziwa eksplozja zainteresowania nastąpiła później. Mianowicie w połowie XX w. Naukowcy z entuzjazmem badali właściwości tych liczb, czego efektem jest ogromna literatura. I wydaje się, że ta studnia jest bez dna. Tożsamości wciąż się pojawiają. Weźmy to na przykład: x _n+1 · x _n−1 = x _n ² + (−1)ⁿ. To eleganckie. Jest trwały.

Potem pojawił się Edouard Lucas. Miał swój własny wzór na generowanie tych samych liczb. Inne spojrzenie na tę samą niekończącą się łamigłówkę.

Matematyka kryjąca się za magicznym współczynnikiem

Wszystko zaczyna się od liczby, która nie jest liczbą pierwszą. Złoty podział Phi (Φ) wynosi około 1,618. Jego wartość odwrotna wynosi 0,618. Obie liczby są pierwiastkami równania x ² − x − 1 = 0. Równanie to sięga czasów Luca Pacioli, włoskiego matematyka żyjącego w XV wieku. Nazwał to „Boską Proporcją”. Formuła wygląda następująco: a /b = b /(a + b ), pod warunkiem, że a jest mniejsze niż b. Biorąc x za b /a otrzymasz taki wynik.

Mówimy o podziale odcinka. Podziel go tak, aby mniejsza część była powiązana z większą w taki sam sposób, jak większa część była powiązana z całym segmentem. Starożytni projektanci o tym wiedzieli. Z tej zasady korzystają także współcześni architekci. Prostokąt o bokach w stosunku 3:5 wygląda harmonijnie. Albo 8:5. Jest to estetyczne. Niektórzy uważają to za najprzyjemniejsze.

Moce Phi

Podnieś Phi do kolejnych potęg. Sekwencja się rozwija. Zaczyna się od konkretnych liczb, które odzwierciedlają samą tę zależność.

Patrząc na radykałów, możesz nie spodziewać się odniesień do popkultury, ale za pierwiastkiem kwadratowym z pięciu kryje się pewien wzór. To nie magia. To po prostu matematyka, która robi to, co powinna.

Współczynnikami w tej sekwencji są słynne liczby Fibonacciego. Znasz ich. Raz, jeden, dwa, trzy, pięć, osiem. Układają się w rytm bicia serca.

Przyjrzyj się bliżej nawiasom. Pozostali członkowie podążają innym rytmem. Sekwencja Łukasza. Zaczyna się od jedynek i trójek. Potem jest cztery, siedem, jedenaście, osiemnaście. To wydaje się znajome. I rzeczywiście, tak jest.

Sekwencja Łukasza ma takie samo powtarzające się bicie serca jak Fibonacci. Każda liczba jest sumą dwóch poprzednich. Formuła jest prosta. $x_n = x_{n-1} + x_{n-2}$.

To niezła sztuczka. Matematyczna pisanka dla każdego miłośnika wzorów. Następnym razem, gdy zobaczysz √5, pomyśl o liczbach ukrytych w miejscach dziesiętnych. Są tam i czekają, aż zostaną policzeni.

Zacznij od złotego prostokąta oznaczonego ABCD. Wytnij kwadrat ABEF. Co zostało? Prostokąt ECDF. To kolejny złoty prostokąt. Te same proporcje. Inny rozmiar. Jeśli będziesz kontynuować ten proces, kwadraty będą coraz mniejsze. Kąty są takie same. Narysuj przez nie okrągłe łuki. Rezultatem nie jest idealny okrąg, ale spirala logarytmiczna.

Natura uwielbia tę formę. Widać to w muszlach Nautilusa. Widać to podczas huraganów. Matematyka za tym jest niezła. Równanie r = k Θ opisuje tę krzywą we współrzędnych biegunowych. Stała k jest zdefiniowana jako Φ²/π. Phi do kwadratu podzielone przez pi. Jest to dokładna zależność pomiędzy wysokością a kątem.

Ale geometria nie pojawia się tylko na papierze. Jest też w ogrodzie. Liczby Fibonacciego wyjaśniają filotaksję. Jest to złożone określenie sposobu, w jaki rośliny układają swoje części. Spójrz na guz. Policz okółki. Spójrz na ananasa. Spirale przecinają się w liczbach Fibonacciego. Główki słonecznika? Ten sam. Płatki nie rosną przypadkowo. Działają według określonej kolejności.

Dlaczego rośliny przestrzegają reguł Fibonacciego

To nie jest przypadek. To jest wydajność. Powyższa specyficzna sekwencja frakcji pomaga ciasno upakować nasiona. Zapewnia to maksymalną ekspozycję światła. Gałęzie na niektórych łodygach kierują się tą samą logiką. Nie zacieniają się nawzajem. Roślina optymalizuje swoją strukturę.

Spirala pokazana na rycinie 4 jest zbliżona do tego naturalnego wzrostu. Jest to przybliżenie, ponieważ natura jest niedoskonała. Biologia nie kieruje się wyraźnymi liniami. Podąża za trendami. Złoty podział przejawia się w ułożeniu liści. Przejawia się to w lokalizacji nasion. Jest to wzór, który powtarza się u różnych gatunków.

Niektórzy mogą twierdzić, że to tylko atrakcyjność wizualna. Ale matematyka wytrzymuje wnikliwą analizę. Spirala logarytmiczna pozwala mu się rozszerzać bez zmiany kształtu. Liść rośnie. Nie odkształca się. To się skaluje. Sekwencja Fibonacciego zapewnia kroki całkowite dla tego skalowania. Jest to dyskretny wzrost w świecie ciągłym.

Związek matematyki z biologią

Skąd ziarno wie, że ma rosnąć po spirali? Nie wiadomo. Fizyka podziału komórek faworyzuje te kąty. Kąt rozbieżności ma tendencję do złotego kąta. Minimalizuje to nakładanie się. To maksymalizuje przestrzeń. Wynik wygląda jak spirala Fibonacciego. To jest spirala Fibonacciego.

Nie trzeba mieć dyplomu z botaniki, żeby to zauważyć. Spójrz tylko na następnego ananasa, który kupujesz. Albo następny słonecznik. Numery są obecne. Są wbudowane w konstrukcję. Złoty prostokąt to tylko abstrakcja geometryczna. Roślina jest rzeczywistością fizyczną. To dwie strony tej samej monety. Jeden został narysowany za pomocą kompasu. Druga rośnie w ziemi. Obydwa kierują się tą samą podstawową zasadą.

Złudzenia optyczne to nie tylko sztuczki imprezowe. Są to zagadki matematyczne zamaskowane jako szum wizualny. Stojąca za nimi matematyka często opiera się na podstawowych zasadach geometrycznych. W szczególności na proporcjonalności między polami figur podobnych a kwadratami ich wymiarów liniowych. Ale nie chodzi tylko o równania. Dochodzi tu także aspekt fizjologiczny. Twój mózg postrzega względne długości dokładniej niż względne obszary. To właśnie w tej luce percepcji istnieje iluzja.

Chodzi o niekonwencjonalną perspektywę. Zniekształcone rogi. Zwodnicze oświetlenie w cieniu. Nietypowe dopasowywanie kolorów powoduje aberrację chromatyczną. Po nim następują kolejne obrazy. Aby głębiej zrozumieć te mechanizmy, warto sięgnąć do artykułów na temat iluzji i halucynacji. Ale geometria staje się jeszcze dziwniejsza, gdy przestajesz patrzeć na statyczne obrazy i zaczynasz zwracać uwagę na logiczne pułapki.

Geometria kłamstw

W geometrii istnieją słynne „dowody”, które mają wykazać absurdalne twierdzenia. Są to błędy logiczne (sofizmaty). I są uwodzicielskie, bo mają logiczną strukturę, ale zawierają fatalną wadę.

Przyjmijmy, że dowolny trójkąt jest równoramienny. To nie brzmi dobrze. I to naprawdę nie jest prawdą. Jednak niektóre „dowody” przekonują, że jest inaczej. Następnie znajdujemy stwierdzenie, że każdy kąt jest kątem prostym. Lub pomysł, że jeśli w czworokącie ABCD bok AB jest równy bokowi CD, to AD jest koniecznie równoległa do BC. To kłamstwo. Możesz skonstruować figurę zgodną z opisem, która nie będzie równoległobokiem. Najbardziej oburzającym stwierdzeniem jest to, że każdy punkt wewnątrz okręgu leży na samym okręgu.

Jak działają te sofistyki? Nie używają magii. Wykorzystują subtelne błędy.

Wyjaśnienia tych fałszywych dowodów zwykle sprowadzają się do kilku powtarzalnych technik. Po pierwsze, jest to błędna konstrukcja. Schemat jest narysowany nieco niedokładnie, ukrywając sprzeczność. Po drugie, jest to naruszenie zasad logicznych. Jednym z powszechnych jest założenie o prawdziwości twierdzenia odwrotnego. To, że A pociąga za sobą B, nie oznacza, że ​​B pociąga za sobą A. Pomieszanie częściowych rozbieżności i odwrotności jest klasyczną pułapką.

Czasami jest to błędna interpretacja definicji. Dowód ignoruje warunki „konieczności i wystarczalności”. Wymaga warunku, który jest wymagany, ale niewystarczający, aby udowodnić całe stwierdzenie. I jeszcze czynnik ludzki. Nadmierne poleganie na diagramach i intuicji. Bardziej ufamy oczom niż logice. Wpadamy w pułapkę ograniczających procesów i zwodniczych przejawów zewnętrznych. Mózg widzi to, co spodziewa się zobaczyć.

Kiedy kawałki nie mają wyjścia

Prowadzi to bezpośrednio do liczb niemożliwych. To nie tylko sztuczki optyczne, gdzie linie się przecinają. Są to struktury, które nie mogą istnieć w przestrzeni trójwymiarowej.

Weźmy trójkąt Penrose’a. Trzy pręty tworzą trójkąt. Każdy narożnik wygląda jak standardowe złącze 90 stopni. Jeśli połączysz je ze sobą, utworzą pierścień. Twój mózg próbuje rozwikłać podstawowe sygnały. Przypisuje przód i tył do każdej krawędzi. Ale żebra nie łączą się. Figura wymaga topologii naruszającej zasady geometrii euklidesowej.

Te rekonstrukcje to topologiczny koszmar. Zmuszają oko do podążania za ciągłą linią, która, gdyby próbować podążać w rzeczywistej przestrzeni, musiałaby przez nią przechodzić lub zaginać się w sposób przekraczający fizyczne ograniczenia. Artyści i matematycy wykorzystują je do podkreślania granic percepcji. Pokazują, że Twój mózg jest maszyną prognostyczną, a nie kamerą. Wypełnia

Niemożliwa pułapka geometryczna

Spójrz na rysunek 5. Twój mózg chce to zaakceptować. Widzi wiarygodne obiekty 3D. Solidny. Prawdziwy. Ale przyjrzyj się bliżej, a iluzja się zawali. Te zdjęcia kłamią. Opierają się na błędnej perspektywie, dziwnych zestawieniach lub zwykłych sztuczkach psychologicznych. Nie możesz ich zbudować. Nie istnieją w kosmosie.

To są liczby nierozwiązywalne.

Oskara Reterswarta fascynowały nie tylko wizualne paradoksy. Zrobił z nich swoją sprawę. Szwedzki artysta zamienił te niemożliwe kształty w centralny element serii znaczków pocztowych. Było wcześnie. To było odważne. I okazało się, że znaczek pocztowy może być bramą do geometrii, która nie działa.

Niekończące się schody i logika paradoksu

Wszystko zaczęło się w 1958 roku. Brytyjski genetyk L.S. Penrose i jego syn, fizyk matematyczny Roger Penrose, wprowadzili świat w dziwne pętle. To nie były tylko sztuczki wizualne. To były liczby nie do rozwiązania.

Wybierz kwadratowe schody Penrose. Można po nim spacerować bez końca w dowolnym kierunku. Nigdy nie wzniesiesz się wyżej. Nigdy nie schodzisz niżej. To niekończący się cykl. M.K. Escher rozwinął tę koncepcję. Jego litografia Ascent and Descend z 1960 roku przedstawia mnichów kroczących tą niemożliwą ścieżką. Wodospad (1961) przedstawia wodę przeciwstawiającą się grawitacji i zamykającą się w pętli. To nie tylko sztuka. Są to wizualne dowody paradoksów logicznych.

Dziwne pętle dotykają nieskończoności. Odzwierciedlają stwierdzenia autoreferencyjne, takie jak stwierdzenie Epimenidesa. Filozof oświadczył, że wszyscy Kreteńczycy są kłamcami. Jeśli ma rację, to kłamie. Jeśli kłamie, ma rację. Pętla się zamyka. Logika się załamuje.

Kiedy krzywe łamią zasady

Matematyka ma swoją wersję tego szaleństwa. Krzywe patologiczne.

Standardowa krzywa ciągła zachowuje się przewidywalnie. Posiada styczne. Ma określoną krzywiznę. Krzywe patologiczne nie mają tych właściwości. Brakuje im podstawowych cech. Ich tangens nie może być zdefiniowany w żadnym punkcie. Można je narysować. Możesz zmierzyć obszar, który ograniczają. Ten obszar jest skończony. Długość? Nieskończony.

To nie są złudzenia optyczne. To są prawdziwe obiekty matematyczne. Powstają jako granice ciągów konstrukcji geometrycznych. Liczby się zgadzają. Liczby nie do końca do siebie pasują. Ich długość zmierza do tego samego limitu. Obszar jest do innego. Ale sam przedmiot? To jest paradoks.

„Ich specyficzne cechy tworzą paradoksy, a nie złudzenia optyczne czy błędy.”

W tym miejscu matematyka przestaje być intuicyjna. Rysujesz linię. Staje się nieskończenie łamany. Przebywa w małej przestrzeni. W żadnym punkcie nie ma nachylenia. To krzywa, która nie chce być krzywą.

Widzimy to w krokach Penrose’a. Widzimy to w więzieniach Eschera. Widzimy to w matematyce, która za nimi stoi. Nieskończona długość w skończonej przestrzeni. Kierunek, który prowadzi donikąd. To nie jest błąd. To jest funkcja.

Pytanie nie brzmi, jak to naprawić. Pytanie brzmi, co się stanie, gdy zaakceptujesz pętlę. Czy idziesz dalej? Czy przestajesz szukać końca?

Krzywa trwa.

Geometria nieskończonego obwodu i skończonej przestrzeni

Weźmy pod uwagę płatek śniegu Kocha. Zacznij od prostego trójkąta równobocznego. Podziel każdą stronę na trzy równe części. Zastąp środkową jedną trzecią dwoma bokami mniejszego trójkąta równobocznego skierowanymi na zewnątrz. Powtarzaj to w kółko. Proces powtarza się w nieskończoność. Pierwsze dwa etapy pokazano na rysunku 7, pokazując, jak kształt staje się coraz bardziej postrzępiony, ostry i złożony z każdą iteracją.

Oto sedno. Obwód rośnie w nieograniczony sposób. Dąży do nieskończoności. Jednak obszar, który ogranicza, pozostaje skończony. Zbliża się do pewnego limitu. Ta górna granica wynosi dokładnie 8/5 powierzchni pierwotnego trójkąta.

Pomyśl o tym. Masz nieskończenie długą granicę rozciągającą się na skończoną przestrzeń. Jest to sprzeczne z intuicją, że dłuższe linie oznaczają większy obszar. Krzywa Kocha obala to błędne przekonanie.

Wypełnianie przestrzeni linią, która nie powinna się tam zmieścić

Jest to sprzeczne z podstawami geometrii. Krzywa jest obiektem jednowymiarowym. Ma długość, ale nie szerokość. Nie może obejmować obszaru dwuwymiarowego. Jednak projekt na rysunku 8 dowodzi, że jest inaczej. Jeśli będziesz kontynuować proces przez wszystkie etapy, efekt końcowy obejmie każdy punkt kwadratu.

To nie jest sztuczka. Matematyka trzyma poziom. Krzywa wypełnia przestrzeń.

Od kwadratów po kostki

Tę logikę można dalej rozszerzyć. Nie ogranicza się to do płaskich powierzchni. Stosując to samo rozumowanie, krzywa może wypełnić cały sześcian. Trzy wymiary. Jedna ciągła linia. Wydaje się to niemożliwe, dopóki nie zobaczysz, jak to działa matematycznie.

Krzywa Sierpińskiego to dziwna istota. Zaczyna się od prostego kwadratu, ale jeśli będziesz kontynuować proces budowy wystarczająco długo, zamieni się on w coś zupełnie innego. Zawiera każdy punkt wewnątrz tego kwadratu. Tworzy zamkniętą pętlę.

Oto sedno. Kontynuować. Bez końca.

Długość krzywej zbliża się do nieskończoności. Ona nigdy nie przestaje rosnąć. W tym przypadku obszar, który ogranicza, stabilizuje się dokładnie na pięciu dwunastych całkowitej powierzchni kwadratu. Jest to paradoks geometrii.

„Ponieważ proces tworzenia krzywej trwa w nieskończoność, jej długość dąży do nieskończoności, podczas gdy ograniczony przez nią obszar ma tendencję do 5/12 pola kwadratu.”

Następnie mamy krzywą fraktalną. Odpowiednia jest tu także luźna definicja. Jest to kształt, który zachowuje swój nieregularny wzór bez względu na stopień powiększenia. Przypomnij sobie płatek śniegu Kocha. To klasyczny przykład.

Zobacz co dzieje się na każdym etapie jego budowy. Obwód nie tylko się zwiększa. Rośnie w określonym stosunku. Cztery do trzech.

Benoit Mandelbrot zmienił zasady gry w latach pięćdziesiątych. Nie podobała mu się stara koncepcja wymiaru. Chciał nowego symbolu. D.

Postrzegał wymiar jako stopień. Do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę 3, aby otrzymać 4? Oto pytanie. Odpowiedź nie jest liczbą całkowitą. To jest logarytm 4 podzielony przez logarytm 3. Około 1,26.

Jest to wielkość płatka śniegu. To nie jest linia. To nie jest samolot. Ona jest gdzieś pośrodku.

Mandelbrot i jego współpracownicy zaczęli badać te „patologiczne” krzywe. Przyciągało ich samopodobieństwo. Ale nie tylko rozważali matematykę. Patrzyli na świat.

Losowe fluktuacje w przyrodzie powodują statystyczne samopodobieństwo. Techniki Mandelbrota pomogły to rozszyfrować. Działa to w mechanice płynów. Geomorfologia. Fizjologia człowieka. Ekonomika. Językoznawstwo.

Weźmy ruchy Browna. Spójrz na mikroskopijne powierzchnie. Zobacz sieci naczyniowe w swoim ciele. Sprawdź kształty cząsteczek polimeru.

Wszystko to fraktale. Mają tę samą szorstką, powtarzającą się teksturę.

Labirynty

Rozwiązanie nierozwiązywalnego

Połóż dłoń na ścianie. Trzymaj to tam. Jeśli labirynt ma tylko jedno wejście i jedno wyjście, ta prosta zasada zagwarantuje, że znajdziesz wyjście. To może nie być najszybsza trasa. Można zrobić objazd. Ale tam dotrzesz.

A co jeśli cel jest ukryty w labiryncie? Działa ta sama technika trzymania ręki na ścianie. Jest jeden warunek. Żadnych zamkniętych pętli. Jeśli labirynt zawiera pętlę – trasę prowadzącą do początku – metoda nie będzie działać. Będziesz po prostu kręcił się w miejscu.

Matematycy nazywają labirynt bez cykli „po prostu połączonym”. Jeśli zawiera cykle, jest „połączony wielokrotnie”. Aby poruszać się po tak skomplikowanych strukturach, potrzebujesz lepszego planu.

Oznacz każde rozwidlenie jako węzeł. Oznacz ścieżki jako „nowe” lub „stare”. Oto jak poruszać się po labiryncie, nie gubiąc się:

• Nigdy nie idź tą samą ścieżką więcej niż dwa razy.
• Czy poznałeś nowy węzeł? Wybierz kierunek.
• Spotkałeś stary węzeł lub ślepy zaułek nowej ścieżki? Odwróć się i idź tą samą drogą.
• Czy spotkałeś stare skrzyżowanie starą ścieżką? Wypróbuj nową ścieżkę. Jeśli nie ma nowych ścieżek, wybierz inną starą.

Ludzie bawią się papierowymi labiryntami rzadziej niż wcześniej. Zachwyt opadł. Ale dwie nowoczesne dziedziny nadal na nich polegają. Psychologia wykorzystuje je do badania zachowań związanych z uczeniem się. Technologie komunikacyjne wykorzystują je do ulepszania konstrukcji komputerów.

Cięcie kształtów na kawałki

Cięcia geometryczne są różne. Polegają na cięciu kształtów na kawałki, które można dowolnie układać. Weź prostokąt. Przetnij to. Złóż kawałki w kwadrat. Zrób to samo w przeciwnym kierunku.

Zainteresowanie tą matematyczną zagadką pojawiło się pod koniec XVIII wieku. Montyukla zwrócił uwagę na ten problem. Wraz ze wzrostem popularności zmienił się punkt ciężkości. Nie chodziło już tylko o prostokąty i kwadraty. Mówiliśmy o dowolnych wielokątach. Jak wyciąć kształt z n bokami na inny kształt o równej powierzchni?

Na początku XX wieku kwestia ta uległa ponownej zmianie. Nie wystarczyło po prostu to zrobić. Trzeba było znaleźć minimalną liczbę niezbędnych elementów. Ważna była skuteczność.

Około 1960 roku pojawiła się obszerna teoria. Zdefiniowała figury „równie rozłożone”. Dwa wielokąty są równorozkładalne, jeśli jeden można pociąć na skończoną liczbę części i przestawić tak, aby utworzył drugi. Ich pola muszą być równe. Oczywiście.

Twierdzenie odwrotne jest jeszcze silniejsze. Jeśli dwa wielokąty mają równe pola, są one jednakowo rozłożone. Kropka.

Istnieje również metoda dodawania. Dodaj równe części do dwóch kształtów. Spraw, aby nowe kształty były równe. Liczby takie nazywane są „równie komplementarnymi”. Ich pola są również równe.

Teoria się rozwinęła. Naukowcy zbadali, w jaki sposób równorozkładalność wiąże się z ruchem. Transfery. Centralna symetria. Ogólnie o grupach ruchowych. Badania ostatecznie dotarły do ​​wielościanów. Trójwymiarowe figury. Dużo bardziej złożone pytania. Wciąż szukają odpowiedzi.

Mechanika krzyża greckiego

Praktyczne zastosowanie wymaga czegoś więcej niż tylko teorii. Przekształcenie krzyża greckiego w kwadrat nie jest tak proste, jak wykonanie jednego prostego złożenia. Aby to zadziałało, potrzebne są wynalazcze metody. Geometria szybko staje się złożona.

H. Lindgren udokumentował niektóre z tych konkretnych metod. Jego praca jest niezbędnym źródłem informacji dla każdego, kto faktycznie próbuje rozwiązać tę zagadkę. Szczegóły można znaleźć w Bibliografii. Nie jest to kwestia zgadywania, ale stosowania się do kroków, które faktycznie działają.

Kwadrat w kwadracie: rozwiązywanie zagadki geometrycznej

Zapomnij o zakurzonych podręcznikach. Przekonanie, że nie da się podzielić kwadratu na mniejsze, nierówne kwadraty, było kiedyś utrwalonym mitem. Nie wynikało to z braku prób. Matematycy od dziesięcioleci wpatrują się w czystą kartę. Rozwiązanie nie przyszło z kompasu i linijki. Wywodzi się z teorii sieci.

Mówimy o kwadratowych prostokątach. Prostokąt podzielony na skończoną liczbę kwadratów. Jeśli żaden z tych kwadratów nie jest tej samej wielkości, nazywa się to idealnym. Zamówienie? To tylko liczba tych kwadratów.

O to właśnie chodzi. Nie ma idealnych prostokątów składających się z mniej niż dziewięciu kwadratów. Zero. Ani jednego. Ale w rzędzie dziewiątym są dokładnie dwa takie prostokąty. Jeden z nich pokazano na rycinie 12. Podział kwadratu na nierówne kwadraty, który jeszcze w 1907 r. uznawano za niemożliwy, został po raz pierwszy opisany w 1939 r.

To nie magia. To jest topologia.

Jak wykresy rozwiązują zagadki geometryczne

Słowo „wykres” jest mylące. Wyobraź sobie wykres liniowy. Raport giełdowy. Krzywa geometrii analitycznej. Zło. Albo przynajmniej niezupełnie.

W łamigłówkach wykres jest prostszy. Punkty i linie je łączące. Wykresy liniowe. Więcej nie. Jednak te prymitywne konstrukcje rozwiązały problem, który intrygował geometrów od ponad trzydziestu lat.

Dlaczego to jest ważne? Ponieważ pokazuje, jak abstrakcyjne sieci są rzutowane na przestrzeń fizyczną. Bierzesz prostokąt. Dopasowujesz do niego kwadraty. Śledzisz połączenia. Wykres ujawnia ukrytą symetrię.

Nie chodzi tylko o piękne formy. Chodzi o logikę. Czysta, nieskomplikowana logika.

„Podział kwadratu na nierówne kwadraty, który jeszcze w 1907 r. uznawano za niemożliwy, został po raz pierwszy opisany w 1939 r.”

Trzy dekady ślepych zaułków. Potem – przełom. Nie dlatego, że ktoś stał się mądrzejszy. To dlatego, że przestali patrzeć na kwadraty, a zaczęli patrzeć na linie między nimi.

Wykres nie zwraca uwagi na kąty. Dba o kontakty. To jest sekret.

Podstawy teorii grafów: od pełnych grafów po łamigłówki planarne

Skończony zbiór punktów połączonych liniami tworzy wykres. Punkty te nazywane są wierzchołkami. Linie łączące je to krawędzie. Kiedy każdy wierzchołek jest połączony z każdym innym wierzchołkiem, efektem jest kompletny wykres. Ale nie wszystkie wykresy są takie proste.

Rozważmy wykresy planarne. Są to grafy, w których krawędzie nie przecinają się ze sobą, z wyjątkiem samych wierzchołków. Krawędzie nie muszą być liniami prostymi. Można je wyginać. Ta elastyczność pozwala na przerysowanie wykresu nieplanarnego na izomorficzny wykres planarny, jak widać na standardowych ilustracjach geometrycznych.

Krawędzie wykresu nie muszą być liniami prostymi. To rozróżnienie ma znaczenie. Oznacza to, że splątany diagram z wieloma przecięciami może w rzeczywistości być płaski, jeśli tylko rozsuniesz krawędzie.

Problem trzech studni i pomysł Jordana

Oto klasyczna łamigłówka. Problem trzech studni. Trzy domy. Trzy studnie. Konieczne jest narysowanie ścieżek z każdego domu do każdej studni. W sumie jest dziewięć ścieżek. Reguła? Żadna ścieżka nie powinna przecinać się z inną. To niemożliwe.

Dowód opiera się na twierdzeniu o krzywej Jordana. Zamknięta ciągła krzywa dzieli płaszczyznę na obszary wewnętrzne i zewnętrzne. Każda ścieżka łącząca punkt wewnątrz z punktem na zewnątrz musi przecinać krzywą. Ta topologiczna rzeczywistość sprawia, że ​​problem trzech studni jest nierozwiązywalny.

Wykresy planarne są przydatne nie tylko do układania puzzli. Wykorzystuje się je przy projektowaniu sieci elektrycznych. Płytki drukowane często wykorzystują zasady planarne, aby uniknąć zwarć i kontrolować łączność.

Połączone wykresy i ścieżki

Połączony wykres to po prostu wykres, w którym każdy wierzchołek jest połączony z każdym innym wierzchołkiem za pomocą łuku. Łuk to po prostu nieprzerwana sekwencja krawędzi.

Istnieje również koncepcja ścieżki. Ścieżka przechodzi przez graf, nie przechodząc dwukrotnie przez tę samą krawędź. Szczyt można zwiedzać wielokrotnie. Najważniejsze, aby nie używać dwukrotnie tej samej krawędzi. Jest to pewien rodzaj obejścia.

Korzenie współczesnej teorii grafów sięgają XVIII-wiecznej łamigłówki, która wydawała się na tyle prosta, że mógł ją rozwiązać przypadkowy przechodzień, ale okazała się matematycznie głęboka. Wszystko zaczęło się od Leonharda Eulera i słynnego problemu mostów królewieckich. Przez długi czas obszar ten wyznaczał specjalny rodzaj trasy, zwany ścieżką Eulera. Jest to kształt, który można narysować bez odrywania ołówka od papieru i dwukrotnego rysowania tej samej linii.

Sceną zdarzenia było miasto Królewiec, obecnie znane jako Kaliningrad. Geografia była myląca. Rzeka Pregoła została podzielona na odnogi i otaczała wyspę. Siedem mostów łączyło różne obszary lądu. Zadanie postawione przed mieszczanami było zwodniczo proste. Czy ktoś mógłby wyjść z domu, przejść przez te mosty i wrócić do domu po przejściu każdego z nich dokładnie raz?

Euler udowodnił, że jest to niemożliwe. Nie tylko powiedział nie. Dało to światu nowy sposób spojrzenia na sieci.

Reguły sieciowe

Logika Eulera ma zastosowanie do każdej zamkniętej sieci, nie tylko rzek i mostów. Rozwiązanie leży w punktach przecięcia linii.

• Liczba parzystych punktów – węzłów, w których zbiega się parzysta liczba krawędzi – nie wpływa na możliwość istnienia ścieżki.
• Liczba nieparzystych punktów, w których spotyka się nieparzysta liczba krawędzi, musi być zawsze parzysta. Dzieje się tak nawet w przypadku zerowych punktów nieparzystych.
• Jeśli nie ma nieparzystych punktów, możesz zacząć w dowolnym miejscu i zakończyć w tym samym punkcie.
• Jeśli są dokładnie dwa nieparzyste punkty, musisz rozpocząć poruszanie się od jednego nieparzystego punktu i zakończyć w drugim.
• Jeśli więcej niż dwa punkty nieparzyste, ciągła ścieżka nie jest możliwa. Sieć z nieparzystymi punktami o wartości 2 n $ może być przemierzana n $ oddzielnymi ścieżkami.

Dlaczego mosty nie działały

Spójrz na rysunek 15F. Odzwierciedla sytuację w Królewcu. Kropki reprezentują masy lądowe, a krawędzie przedstawiają siedem mostów.

W sieci znajdują się cztery dziwne punkty. Oznacza to, że do idealnego jej przebycia potrzebne byłyby cztery oddzielne ścieżki. Ponieważ ludzie chcą wybrać się na jeden ciągły spacer, zagadka jest niemożliwa do rozwiązania.

Inne rysunki z tego samego zestawu opowiadają różne historie. Rysunki 15B i 15C działają. Odpowiadają one zasadom Eulera. Można je pokonywać ścieżkami Eulera. Rysunki 15D i 15E nie działają. Łamią zasady punktów parzystych i nieparzystych.

Lekcja została wyciągnięta. Przestaliśmy patrzeć na krzywe i zaczęliśmy patrzeć na połączenia.

Może ci się wydawać, że łamigłówki online to tylko ćwiczenia mózgu, ale tak naprawdę polegają na łączeniu lub układaniu kropek w przestrzeni. Jest starszy niż myślisz.

Irlandzki matematyk Sir William Rowan Hamilton wymyślił jedną z takich łamigłówek w 1859 roku. Zadanie polegało na znalezieniu trasy wzdłuż krawędzi dwunastościanu foremnego. Każdy punkt trzeba było przejść dokładnie raz. Żadnych powtórzeń. Żadnych skrótów.

Później ludzie uprościli grę. Zastąpili trójwymiarową figurę planarnym wykresem o 30 krawędziach. Ta sama logika, mniej kartonu do złożenia.

To właśnie nazywamy obwodem Hamiltona. Odwiedza każdy wierzchołek raz. Nie obejmuje jednak wszystkich krawędzi. Na każdym przecięciu znajdują się trzy krawędzie. Obwód wykorzystuje tylko dwa z nich. Grube linie na rysunku 16 pokazują jedną z takich ścieżek. Jest ich wielu.

Teoria grafów i prawdziwy chaos

Teoria grafów to nie tylko składanie papieru. Rozwiązuje problemy kombinatoryczne.

Pomyśl o połączeniu miast koleją. Albo układanie linii telefonicznych. Potrzebujesz działającej sieci. Teoria grafów pomaga to zaplanować.

Rozwiązuje także problemy komunikacyjne. Organizuje turnieje kołowe, tak aby każda drużyna grała z każdą inną drużyną. Dopasowuje stanowiska pracy do kandydatów. To uniwersalny klucz do porządkowania zadań.

Problem czterech kolorów kart

Kartografowie wiedzieli, o czym matematycy debatowali od stulecia.

Żadna karta nie wymaga więcej niż czterech kolorów. Możesz pokolorować dowolny region, pod warunkiem, że sąsiednie obszary mają różne kolory. Prosta zasada. Złożony dowód.

W 1852 roku ktoś sformułował „problem kart czterech kolorów”. Czy możliwe jest zbudowanie mapy planarnej, która wymaga pięciu kolorów?

Matematycy atakują ten problem od lat. Nie udało im się.

Wtedy, w 1976 roku, zespół z Uniwersytetu Illinois zadał decydujący cios. Udowodnili, że cztery kolory wystarczą.

Oto sedno. Był to pierwszy poważny dowód, który w dużym stopniu opierał się na komputerze. Wykonali ponad 1000 godzin obliczeń. Diagramy zostały wygenerowane maszynowo. Niektórym matematykom się to nie podobało. Mówili, że to nie jest wystarczająco „ludzkie”. Ale to zadziałało.

Podobne pytania możesz zadać w przypadku innych powierzchni.

Karty na torusie (postać w kształcie pączka) wymagają siedmiu kolorów. Więcej nie. Nie mniej.

Magia fleksagonów

Flexagon to wielokąt wykonany z papieru lub folii. Wygląda jak płaski pasek, dopóki go nie zgniesz.

Następnie zmienia krawędzie.

Po raz pierwszy zaczęto o nich mówić w 1939 roku. Obecnie stanowią integralną część rozrywki matematycznej.

Trihexaflexagon to najprostsza wersja.

Oto jak go zrobić:
1. Wytnij pasek materiału.
2. Zaznacz 10 trójkątów równobocznych.
3. Złóż go odpowiednio kilka razy.
4. Przyklej ostatni trójkąt z tyłu pierwszego.

Zegnij to. Jedna krawędź znika. Jej miejsce zajmuje inny. To proste. To jest dziwne. To działa.

Manipulacyjna rozrywka

To nie są tylko gry. Są to modele tego, jak konstruujemy przestrzeń.

Początki układania puzzli sięgają Tajemnicy Łukasza. Wyobraź sobie rząd siedmiu komórek. Czarne żetony umieszczane są w trzech lewych komórkach. Prawe trzy są białe. Centralna komórka jest pusta. Twój cel: zamień je. Czarne poruszają się w prawo. Biały – w lewo. Możesz przesunąć kawałek do sąsiedniej pustej komórki lub przeskoczyć kawałek wroga. Dla n żetonów każdego koloru liczba ruchów wynosi n (n + 2).

Skaluj zadanie. Lub zmniejsz. Matematyka nadal jest aktualna.

Istnieje powiązana łamigłówka z ośmioma ponumerowanymi elementami na dziewięciu kwadratach. Trzeba odwrócić kolejność. Dozwolone są tylko pojedyncze ruchy i skoki. Żadnych skrótów.

Następnie są gry dla dwóch graczy. Kółko i krzyżyk to poziom podstawowy. Ale różnice stają się coraz bardziej interesujące. Rozważmy wersję, w której każdy gracz zaczyna z trzema żetonami. Plansza to siatka 3×3. Płytki układane są pojedynczo. Początkowo nie można używać komórki centralnej. Jeśli po umieszczeniu nikt nie wykonał trzech z rzędu, rozpoczyna się faza ruchu. Tylko do sąsiadujących komórek. Poziomo lub pionowo.

Zwycięstwo osiąga się poprzez utworzenie linii.

Przejdź do tablicy 4×4. Każdy gracz ma cztery kawałki. Czasami brane są pod uwagę również przekątne. Wypróbuj wzór 5 × 5. Albo spójrz przez Atlantyk na Europę, gdzie królują The Mill lub Nine Men of Morris. Trzy koncentryczne kwadraty. Osiem poprzeczek (przecinających się linii). Połącz trzy elementy, aby usunąć element przeciwnika. Ważne jest tutaj nie tylko ustawienie, ale także blokowanie.

Geometria połączenia

Hex jest inny. Tu nie chodzi o linie. Mówimy o łańcuchach.

Piet Hein wynalazł ją w Danii w 1942 roku. Tablica to romb z brukowanych sześciokątów. Zwykle 11 komórek na każdej krawędzi. „Utwardzona” oznacza po prostu ułożona razem jak płytki. Żadnych luk. Dwie przeciwległe krawędzie są „białe”. Pozostałe dwa są „czarne”.

Gracze na zmianę umieszczają żetony. Cel? Zbuduj nieprzerwany łańcuch od swojej strony do strony przeciwnej. Biały przechodzi od góry do dołu. Czarny – z boku na bok.

Remis w tym meczu jest niemożliwy. Dlaczego? Ponieważ nie możesz zablokować przeciwnika bez zbudowania własnego łańcucha. Jedna ścieżka przecina planszę. Gra kończy się natychmiast.

John Nash wynalazł go niezależnie w USA w 1948 roku. Wiele lat później wszedł na rynek pod nazwą Hex.

Strategia w tym przypadku nie polega na prostym dostosowaniu. To jest topologiczne. Chodzi o kontrolę.

Dylemat królowej

Szachownice oferują własne wyzwania matematyczne. Najbardziej znany? Umieść osiem królowych na standardowej planszy, tak aby żadna nie atakowała drugiej. Carl Friedrich Gauss pracował nad tym problemem około 1850 roku. W swojej obsesji nie był odosobniony.

Następnie pojawia się „problem z koniem”. Zamknięta wycieczka. Zacznij od jednej komórki. Co drugą komórkę odwiedź dokładnie raz. Zakończ tam, gdzie zacząłeś. Matematyka, która się za tym kryje, przeplata się z magicznymi kwadratami. Wzory w wzorach.

Inne problemy dotyczą wartości sztuk. Ile słoni umieścisz tak, aby się nie zderzyły? Jaka jest minimalna liczba rycerzy potrzebnych do sprawdzenia każdego pola planszy?

Spróbuj umieścić 16 królowych. Żaden z nich nie powinien znajdować się na tej samej linii prostej. Nawet to nie jest trywialne zadanie.

Piętnaście zagadek

Sam Lloyd senior lubił twierdzić, że „Tag” wynalazł około 1878 roku. Współcześni naukowcy nie zgadzają się z tym. Odkryli wcześniejszych wynalazców. Puzzle miały inne nazwy: „Szef”, „Klejnot”, „Mistyczny plac”. Szybko, z zastraszającą szybkością, rozprzestrzenił się po całej Europie.

Urządzenie jest na tyle proste, że można je zmylić. Mała kwadratowa taca. Piętnaście małych numerowanych żetonów. Jedna pusta komórka. Zaczynasz od liczb ułożonych w losowej kolejności. Puste miejsce znajduje się w prawym dolnym rogu. Cel? Ułóż kształty w kolejności numerycznej. Można je jedynie przesuwać. Pusta przestrzeń powinna w końcu wrócić do miejsca, w którym się zaczęła. To jest haczyk.

Skala zadania może przyprawić o zawrót głowy. Istnieje ponad 20 miliardów miliardów możliwych kombinacji płytek, włączając pustą przestrzeń. W 1879 roku dwóch amerykańskich matematyków udowodniło coś zdumiewającego: tylko połowę tych początkowych układów można faktycznie rozwiązać. To około 10 miliardów miliardów. Reszta to ślepy zaułek.

Matematyka jest elegancka i nieco okrutna. Pomyśl o ścieżce, jaką podąża dowolna pojedyncza liczba. Dopóki znajdzie się w prawym dolnym rogu, przechodzi przez parzystą liczbę komórek. To kwestia parytetu.

W stanie rozwiązanym każda liczba jest większa od poprzedniej. Czytasz od lewej do prawej, od góry do dołu. Żadna liczba nie występuje przed mniejszą. W każdym innym układzie przynajmniej jedna liczba łamie tę zasadę. Nazywa się to inwersją.

Weźmy sekwencję 9, 5, 3, 4. Dziewięć występuje przed trzema mniejszymi liczbami. Pięć występuje przed dwiema mniejszymi liczbami. W sumie jest pięć inwersji. To jest liczba nieparzysta. Jeśli łączna liczba inwersji w danym układzie jest parzysta, zagadkę można rozwiązać. Przywróć kwadraty do ich pierwotnego stanu. Jeśli liczba jest nieparzysta, masz przerąbane. Zagadka nie ma rozwiązania.

Na rysunku 17B widoczne są dwie inwersje. Rozpuszczalny. Na rysunku 17C jest ich pięć. Niemożliwe. Teoretycznie tę logikę można zastosować do tacy o dowolnym rozmiarze. Rozmiar siatki m na n. Z mn minus jeden numerowany żeton. Matematyka nadal jest aktualna.

Wieża Hanoi

Edouard Luca nie tylko wynalazł łamigłówkę w 1883 roku. Dał nam matematyczny koszmar zawinięty w drewno.

Francuski matematyk. Niezbędne w sklepach z zabawkami. Trzy pręty. Osiem płyt.

To jest Wieża Hanoi. A przynajmniej to ją zawsze o wszystko obwinialiśmy. Łukasz zyskuje sławę, na jaką zasługuje, chociaż historycy spierają się, czy stworzył ją sam, czy po prostu spopularyzował starszą tajemnicę. Nie ma znaczenia. Ta zagadka jest wszędzie. Wersje plastikowe zaśmiecają półki. Drewniane stoją na stołach biurowych. Zasady są na tyle proste, że można je wyjaśnić w trzydzieści sekund.

Umieść osiem krążków na jednym pręcie. Największy znajduje się na dole, najmniejszy na górze. Duży dysk nigdy nie powinien spoczywać na małym. Przenieś cały stos na inny pręt.

To wszystko.

Ale to nieprawda.

Matematyka uderza w ciebie jak ciężarówka. n dysków wymaga dokładnie 2^n – 1$ ruchów.

Osiem płyt? To jest 2^8 $ – 1 $. 255 ruchów. Osiągalny. Trochę męczące. Dobry test cierpliwości.

Ale wyobraźcie sobie oryginalną legendę.

Wieża sześćdziesięciu czterech dysków.

Liczba ta jest nie tylko duża. Jest kosmicznie, przerażająco duży. 2 $^{64} – 1 $.

18 446 744 073 709 551 615.

Spróbuj powiedzieć to na głos. To zajmie dłużej niż ludzkie życie. Teraz wyobraź sobie, że wykonujesz jeden ruch na sekundę.

Zajęłoby to około 585 miliardów lat.

Wszechświat się nie skończy. Już dawno zamieni się w śmierć cieplną, na długo zanim mnisi z legendy zakończą przesuwanie ostatniego talerza.

Ten sam absurd jest obecny w historii o ziarnach pszenicy na szachownicy. Jedno ziarno w pierwszej komórce. Dwa na drugim. Cztery. Osiem. Podwajanie na każdym kroku. Do sześćdziesiątego czwartego kwadratu będziesz potrzebować każdej miarki pszenicy zebranej kiedykolwiek w historii ludzkości. A nawet więcej.

Wieża Hanoi to nie gra. To lekcja wykładniczego wzrostu. Etykieta ostrzegawcza dla każdego, kto myśli, że „jeszcze jeden ruch” nie zda niczego wielkiego.

Poliomino

Słowo „polyomino” pojawiło się w 1953 roku jako gra słów na temat „domino”. Opisuje figurę złożoną z kwadratów tej samej wielkości połączonych bokami. Nie można podnieść rogu figury bez naruszenia jej spójności. Prostsze opcje są łatwe do wizualizacji. Ale prawdziwa gra zaczyna się od pentomino.

Istnieje dokładnie dwanaście unikalnych kształtów pentomino. Asymetryczne elementy nie liczą się dwa razy, jeśli zostaną odwrócone. Nadal są tylko jednym typem.

Matematycy nie byli w stanie znaleźć ogólnego wzoru na liczbę różnych poliomino w zależności od liczby kwadratów. Znamy jednak dokładne liczby dotyczące konkretnych zamówień. Jest 35 heksamino. Jest 108 heptomino, jeśli liczyć dziwny wariant z dziurą pośrodku.

Czy można opublikować je wszystkie?

Zagadnienia dotyczące poliomino należą do geometrii kombinatorycznej. Zazwyczaj celem jest dopasowanie elementów do określonych kształtów lub pokrycie planszy bez szczelin.

Weźmy 35 heksamino. Łącznie obejmują one 210 komórek. Wydawać by się mogło, że da się je ułożyć w prosty prostokąt. Matematyka oferuje opcje takie jak 3 na 70, 5 na 42 lub 14 na 15. Ale to nie działa. Nie da się stworzyć takiego prostokąta.

A co powiesz na dwanaście pentomino i jedno kwadratowe tetromino? Czy uda im się wypełnić szachownicę 8×8?

Tak. Zadanie to datuje się na około 1935 rok. Nie znamy całkowitej liczby rozwiązań, ale szacunki wskazują na co najmniej 1000. Obliczenia komputerowe przeprowadzone w 1958 roku wykazały, że istnieje 65 rozwiązań, które umieszczają pojedynczą figurę kwadratową dokładnie w środku.

Kostki Somy

Koncepcja rozszerza się na trójwymiarową przestrzeń. Jeśli poliomino to płaskie figury, to kostki Somy są strukturami trójwymiarowymi. Składają się z siedmiu nieregularnych części. Każdy element składa się z czterech lub pięciu kostek połączonych krawędziami.

Fizyk Benjamin Seymour Wright i matematyk John Horton Conway pomogli spopularyzować tę łamigłówkę w latach pięćdziesiątych XX wieku. Zadanie jest proste. Weź siedem części. Zbuduj kostkę 3x3x3.

Można go rozwiązać na 240 różnych sposobów. Jeśli zignorujesz obroty i odbicia, liczba maleje. Ale różnorodność jest oszałamiająca. Kostka Soma jest zasadniczo trójwymiarowym odpowiednikiem problemu pentomino. Wymaga myślenia przestrzennego, a nie tylko płaskiej geometrii.

„Liczba różnych poliomino dowolnego rzędu jest funkcją liczby kwadratów w każdym z nich, ale w tej chwili nie znaleziono ogólnego wzoru.”

Pentomino i heksamino pozostają popularne, ponieważ są zwodniczo proste. Wyglądają jak zabawki. Zachowują się jak złożone algorytmy.

Dziura w tym heptomino nadal niepokoi niektórych purystów. Narusza to zasadę „po prostu podłączony”. Ale istnieje. I to się liczy.

Co wolisz: płaskie wyzwanie na planszy 8×8 czy obrót 3D kostki Somy? Komputer znalazł 65

Geometria gry

Piet Hein z Danii nie tylko wymyślił zaklęcia i taktykę. Natknął się na coś dziwniejszego. Weź trzy lub cztery identyczne kostki. Połącz je krawędziami. Powstałe nieregularne kształty? Jest ich dokładnie siedem. Matematycy nazywają je kostkami Somy. Połącz je ponownie i utworzą większą, idealną kostkę. Jest to fakt trudny do wyjaśnienia.

Piąta i szósta postać są swoimi lustrzanymi odbiciami. Nie ma dwóch takich samych kawałków. Jednakże te siedem elementów — w sumie 27 sześcianów jednostkowych — składa się z powrotem w blok 3x3x3 na ponad 230 znacząco różnych sposobów.

Różnorodność ciekawych konstrukcji, które można stworzyć, wydaje się nieskończona.

Możesz zbudować sofę. Fotel. Zamek. Tunel. Piramida. Wystarczy przestawić podstawowe części. Jako aktywność, kostki Somy uzależniają. Ludzie rozwiązują je mentalnie na podstawie doświadczenia. Psychologowie odkryli silną korelację między szybkością podejmowania decyzji a ogólną inteligencją. Oczywiście na obu końcach spektrum występują anomalie. Ale gracze nie zatrzymują się. Budują dalej.

Kolorowe kwadraty i kostki

Następnie są kolorowe puzzle. Płytki. Kostki. Krawędzie, które muszą pasować.

Rozważmy prostokątną łamigłówkę 4×6. Masz 24 trójkolorowe wzory połamanych kwadratowych płytek. Ułóż je tak, aby stykające się krawędzie były tego samego koloru. A cała granica? Jeden jednolity kolor. Właśnie w opisie. Trudne w praktyce.

Bardziej znana jest łamigłówka „30 kolorowych kostek”. Pokoloruj sześć kolorów na ścianach sześcianów. W sumie jest 2226 kombinacji. Wybierz tylko te, które mają wszystkie sześć kolorów. Otrzymasz 30 różnych kostek. Dwie kostki uważa się za „różne”, jeśli nie można ich umieścić obok siebie, tak aby wszystkie odpowiadające im ściany pasowały.

Te puzzle były sprzedawane pod nazwami takimi jak Mayblox Puzzle, Tantalizer i Katzenjammer. Ale prawdziwa zmiana nastąpiła wraz z Instant Insanity.

Cztery kostki. Biały, czerwony, zielony, niebieski. Zbierz je w pryzmat 1x1x4. Każda z czterech długich krawędzi powinna pokazywać wszystkie cztery kolory. Każda kostka ma 24 orientacje. To pozostawia 82 944 możliwych lokalizacji. Pracują tylko dwa.

Następnie Instant Insanity zostało pochłonięte przez coś większego.

Powstanie kostki Rubika

Erno Rubik opatentował go na Węgrzech w 1975 r. Terutoshi Ishigi zastosował go w Japonii w 1976 r. Tak narodziła się Kostka Rubika.

Wygląda jak 27 małych sześcianów. Po złożeniu każda z sześciu krawędzi ma jednolity kolor. Wersje komercyjne wykorzystują system rotacji wewnętrznej. Obróć warstwę. Kostki są mieszane.

Wyzwaniem jest przywrócenie porządku. Liczba osiągalnych stanów przekracza 10^19. Powstała obszerna literatura. Matematycy używali teorii grup do pisania systematycznych rozwiązań. Puzzle nie były tylko zabawką. To był matematyczny potwór.

Nim i podobne gry

Nim jest starszy, niż wynika z zapisów. Jego pochodzenie jest niejasne. Ale nadaje się do złożonej matematyki.

Weź dowolną liczbę przedmiotów. Podziel je na stosy. Dwóch graczy na zmianę. Wybierz stertę. Usuń jeden lub wszystkie elementy. Gracz, który zdobędzie ostatni przedmiot, wygrywa.

Każda pozycja jest albo „bezpieczna”, albo „niebezpieczna”.
Jeśli zostawisz przeciwnika w niebezpiecznej pozycji, możesz wymusić zwycięstwo.
Jeśli zostawisz go w bezpiecznej pozycji, każdy wykonany ruch da mu przewagę.

Skąd wiesz, która pozycja jest która? Notacja binarna. Układaj kolumny przedmiotów na każdym stosie. Jeśli w każdej kolumnie suma wynosi zero lub liczba parzysta, pozycja jest bezpieczna.

Przykład: trzy stosy zawierające 4, 9 i 15 przedmiotów.

Kalkulacja wygląda następująco:

4: 0 1 0 0
9: 1 0 0 1
15:1 1 1 1

---

Ilość: 2 2 1 0

Dwa to równość. Dwa to równość. Jedno jest dziwne. Jeden jest równy.

Dziwna kolumna narusza bezpieczeństwo. Pozycja jest niebezpieczna.

Logika teorii gier nie ogranicza się do prostej arytmetyki. Jeśli pozycja jest przegrana, doświadczony gracz zawsze będzie próbował zamienić planszę w zwycięską. To kwestia przetrwania w abstrakcyjnej architekturze gry.

Rozważmy opcję z dwoma stosami. Możesz wziąć przedmioty z dowolnego stosu. Lub oba. Ale jeśli weźmiesz od obu, musisz wziąć tę samą kwotę od każdego. Wygrywa ten, kto weźmie ostatni żeton.

Gry takie jak Nim wymagają szczególnej elastyczności umysłowej. Musisz przekonwertować liczby dziesiętne na binarne i odwrotnie. Dla większości ludzi nie jest to intuicyjne. Jednak idealnie nadaje się do samochodów. Komputery cyfrowe działają w systemie liczb binarnych. Używają go w swoim „ojczystym” języku. Dzięki temu możliwe jest zaprogramowanie komputera tak, aby grał bezbłędnie.

Edward Uhler Condon i jego kolega wynaleźli właśnie taką maszynę. Automatyczny Nimatron. Zadebiutował na Wystawie Światowej w Nowym Jorku w 1940 roku. Pokonał ludzkich graczy czystą kalkulacją.

Globalne gry z wynikami

Te gry nie są odosobnionymi ciekawostkami. Są popularne na całym świecie. Weźmy grę w kamyki, znaną również jako gra o liczbach nieparzystych. Dwie osoby zaczynają z nieparzystą liczbą kamyków na jednym stosie. Na zmianę biorą jeden, dwa lub trzy kamyki. Kiedy stos się opróżni, wygrywa gracz, któremu pozostała nieparzysta liczba kamyków.

Istnieją poprzednicy tych gier. Są starsi. To są gry Mancala. Gracze rozprowadzają kamyki, nasiona lub żetony w rzędach otworów. Zasady są różne. Gra się na nich od wieków w Afryce i Azji. Mechanika jest prosta. Strategia jest głęboka.

Zadania wnioskowania

Wiele łamigłówek nie wymaga liczb. Geometria jest w nich rzadka lub nie istnieje. Wymagają wnioskowania dedukcyjnego w oparciu o powiązania logiczne.

Nie myl ich z zagadkami. Zagadki opierają się na dwuznaczności. Stosują grę słów. Ich celem jest przyłapanie nieuważnych. Zagadki logiczne nie mają standardowej procedury. Nie ma ogólnego szablonu ich rozwiązania. Rozwiązujesz je metodą prób i błędów.

Zgadywanie nie jest chaotyczne. Fakty te – zazwyczaj minimum – prowadzą do kilku hipotez. Odrzucasz sprzeczność. Przez podstawienie i eliminację rozwiązanie staje się oczywiste. Techniki logiczne pomagają. Ale sukces zależy od pomysłowości. To nieuchwytna umiejętność.

Dla wygody problemy logiczne pogrupowano tutaj.

Konduktor, strażak i kierowca

To jest klasyk. Wersja z książki Mathematics for Pleasure Oswalda Jacoby’ego i Williamsona Bansona (1962) pozostaje kanoniczna.

Nazwiska konduktora, strażaka i kierowcy brzmiały Smith, Jones i Robinson. Nie koniecznie w tej kolejności. Trzej pasażerowie mieli takie same nazwiska. Aby uniknąć nieporozumień, będziemy ich nazywać Panem Smithem, Panem Jonesem i Panem Robinsonem.

Oto fakty:
– Pan Robinson mieszkał w Detroit.
– Konduktor mieszkał pośrodku między Chicago a Detroit.
– Pan Jones zarabiał dokładnie 2000 dolarów rocznie.
– Smith pokonał strażaka w bilard.
– Współlokator (pasażer) konduktora zarabiał dokładnie trzy razy więcej niż konduktor.
– Pasażer, który mieszkał w Chicago, miał takie samo nazwisko jak konduktor.

Jak miał na imię kierowca?

Rozwiązanie wymaga odcięcia niemożliwych opcji. Nie można zakładać, że nazwiska odpowiadają bezpośrednio tytułom stanowisk. Musisz dopasować położenie geograficzne do dochodów. Wygrywanie w bilard musisz kojarzyć ze swoim zawodem. Jest to ściśle powiązana struktura ograniczeń.

Nakładające się grupy

Ta kategoria dotyczy zestawów. Typowym problemem jest szkolny klub językowy.

Wśród członków klubu:
– 21 uczyło się francuskiego.
– Uczyłam się niemieckiego przez 20 lat.
– 26 uczyło się hiszpańskiego.
– 12 uczyło się zarówno francuskiego, jak i hiszpańskiego.
– 10 uczyło się zarówno francuskiego, jak i niemieckiego.
– 9 uczyło się zarówno hiszpańskiego, jak i niemieckiego.
– 3 uczyło się francuskiego, hiszpańskiego i niemieckiego.

Ilu jest członków klubu? Ilu uczyło się tylko jednego języka?

Liczby się przecinają. Nie można ich po prostu złożyć. Należy wziąć pod uwagę skrzyżowania. Sugeruje się tu logikę diagramów żył. Od sumy odejmujesz przecięcia. Następnie dostosowujesz, aby uwzględnić potrójne przecięcie. Odpowiedzią nie jest ilość. To jest w strukturze grupy.

Prawda i kłamstwa

Inna opcja dotyczy wiarygodności wypowiedzi. Rycerze i łotrzykowie.

Mieszkańcy pewnej wyspy są albo rycerzami, albo kłamcami. Wyglądają tak samo. Rycerze zawsze mówią prawdę. Kłamcy zawsze kłamią.

Gość spotyka trzech lokalnych mieszkańców. Pyta, czy są to rycerze, czy łotrzykowie. Pierwszy mówi coś niezrozumiałego. Drugi wskazuje na pierwszego i mówi: „Powiedział, że jest rycerzem”. Trzeci wskazuje na drugiego i mówi: „On kłamie”.

Gość wie, że tylko jeden z nich jest kłamcą. Określa, kim każdy jest.

Gdyby pierwszy powiedział, że jest rycerzem, to będąc kłamcą, skłamałby. Będąc rycerzem, mówił prawdę. To oświadczenie przekazuje drugi mieszkaniec okolicy. Jeśli ten drugi jest rycerzem, przekazuje prawdę. Jeśli jest kłamcą, kłamie w sprawie tego, co zostało powiedziane. Trzeci nazywa drugiego kłamcą.

To jest łańcuch weryfikacji. Jedno przerwanie łańcucha ujawnia kłamcę.

Inny rodzaj zadania obejmuje czterech mężczyzn. Jeden z nich dopuścił się przestępstwa. Policja ich przesłuchuje.

• Archie: Dave to zrobił.
• Dave: Tony to zrobił.
• Gus: To nie ja.
  *Tony: Dave skłamał, mówiąc, że to zrobiłem.

Jeśli tylko jedno stwierdzenie jest prawdziwe, kto jest winowajcą? Jeśli tylko jedno stwierdzenie jest fałszywe, kto jest winowajcą?

Źródło – książka K.R. Wiley Jr. „101 rozumowań i zagadek logicznych” (1957). Publikacje Dovera. Paradoksy opierają się na sprzeczności między Dave’em i Tonym. Dave obwinia Tony’ego. Tony mówi, że Dave kłamał. Oboje nie mogą powiedzieć prawdy. Oboje nie mogą kłamać na temat zarzutów w sposób pozwalający łatwo zachować zasadę „jednej prawdy”. Musisz sprawdzić każdego podejrzanego. Powiedzmy, że Archie jest winny. Sprawdź oświadczenia. Powiedzmy, że to wina Dave’a. Sprawdź oświadczenia. Prawda wyłania się poprzez eliminację niemożliwych scenariuszy.

Logika albo działa, albo nie. Musisz zdecydować, która opcja jest odpowiednia.

Jak działa zagadka z poplamionym czołem

Historia trzech podróżników i ich zakurzonych twarzy jest klasycznym przykładem czystej logicznej dedukcji. Trzej mężczyźni wychodzą z tunelu kolejowego. Każdy ma plamę sadzy na czole, ale nikt nie widzi własnej twarzy. Śmieją się z siebie. Zanim będą mogli sprawdzić swoje odbicia w lusterkach, inny podróżnik sugeruje test.

Spójrz na pozostałe dwa. Jeśli widzisz chociaż jedną skazę, podnieś rękę.

Cała trójka natychmiast podnosi ręce. Zasada jest prosta: trzymaj rękę podniesioną, aż będziesz pewien swojego statusu, a następnie ją opuść.

Po chwili jeden z mężczyzn opuszcza rękę. Zdaje sobie sprawę, że jego twarz jest poplamiona. Oto jak na to wpadł.

Gdyby jego twarz była czysta, pozostali dwaj mężczyźni widzieliby tylko jedno zabrudzone czoło (każdy z nich). Jeśli ktoś widzi tylko jedno zabrudzone czoło, myśli: “Jeśli jestem czysty, to ta osoba widzi dwa czyste czoła. Powinien od razu zorientować się, że jego twarz jest poplamiona, ponieważ ma podniesioną rękę. Natychmiast opuściłby rękę. “

Ale oni się nie poddali. Wątpili. To wahanie udowodniło naszemu spostrzegawczemu podróżnikowi, że pozostała dwójka również coś widziała. Oboje widzieli jego poplamioną twarz. W rezultacie zdał sobie sprawę, że sam był brudny.

Zrozumienie paradoksu wykonania z zaskoczenia

Paradoks niespodziewanej egzekucji wyłonił się z ustnych powtórzeń na początku lat czterdziestych XX wieku. To wciąż trudna zagadka.

Sędzia informuje więźnia, że ​​zostanie powieszony w przyszłym tygodniu. Egzekucja będzie miała miejsce w południe jednego dnia tygodnia. Więzień nie dowie się o tym wcześniej, aż nadejdzie ranek tego dnia.

Więzień twierdzi, że kara jest niewykonalna. Zaczyna od ostatniego dnia: soboty. Jeśli będzie żył w piątkowe popołudnie, będzie wiedział, że egzekucja musi odbyć się w sobotę. Ale to oznacza, że ​​wiedział o tym z góry. To narusza warunek sędziego. Zatem sobota jest wykluczona.

Kierując się tą samą logiką, piątek również staje się niemożliwy. Jeśli przeżyje czwartek i sobota jest wykluczona, jedyną opcją staje się piątek. Powtórzę: wiedział o tym wcześniej.

Wraca przez cały tydzień. Poniedziałek, wtorek, środa, czwartek, piątek, sobota – wszystkie dni są wyłączone. Więzień stwierdza, że ​​jest bezpieczny.

Sędzia nadal może go powiesić. Paradoks jest subtelny. Stwierdzenie dotyczące przyszłego zdarzenia może być dla sędziego prawdziwe, pozostając jednak nieznane więźniowi aż do momentu wystąpienia zdarzenia. Logika więźnia jest błędna, ponieważ zakłada, że ​​przepowiednia musi być znana zanim się spełni, aby była ważna. Ale to nieprawda.

Historia paradoksów logicznych

Te puzzle to nie tylko gry. Obejmują podstawy matematyki. Są niezwykle zabawne i często uwodzicielskie.

Kreteński prorok Epimenides stworzył problemy już w VI wieku p.n.e. mi. Powiedział: „Wszyscy Kreteńczycy są kłamcami”. Ponieważ Epimenides był Kreteńczykiem, kłamał. Jeśli skłamał, to nie wszyscy Kreteńczycy są kłamcami. Ale jeśli powiedział prawdę, to jest kłamcą. To jest sprzeczność sama w sobie.

W 1913 roku matematyk P.E.B. Jourdain zaproponował paradoks karty.
Przód: „Zdanie na odwrocie tej karty jest PRAWDZIWE”.
Rewers: „Zdanie na odwrocie tej karty jest FAŁSZYWE”.
Jeśli przednia strona jest prawdziwa, to tylna strona jest prawdziwa. Ale odwrotna strona twierdzi, że przód jest fałszywy. Sprzeczność.

Bertrand Russell dodał paradoks fryzjera. Brzytwa goli wszystkich mieszkańców wioski, którzy sami się nie golą. Kto goli brzytwę?
Jeśli się goli, nie powinien. Jeśli się nie goli, powinien. Paradoks brzytwy opiera się na stwierdzeniu o klasie, w której obiekt jest częścią tej klasy. Russell próbował rozwiązać ten problem za pomocą hierarchii typów logicznych. Nie rozwiązało to całkowicie problemu. Pytanie leży w samym sercu matematyki filozoficznej.

„Cały problem leży blisko filozoficznych podstaw matematyki”.

Te zagadki zmuszają nas do zastanowienia się nad tym, jak definiujemy prawdę, wiedzę i samoodniesienie. Nie tylko bawią. Obnażają pęknięcia w naszym myśleniu. Splamiona twarz uczy nas wspólnej wiedzy. Wykonanie pokazuje granice przewidywalności. Kłamca i golarka pokazują nam niebezpieczeństwa odnoszenia się do samego siebie.

Wracamy do nich wielokrotnie. Nie dlatego, że mamy odpowiedzi na wszystkie pytania. Ale ponieważ pytania wciąż zmieniają kształt.