Sejarah Permainan Angka dan Rekreasi Matematika

Anda sedang membaca tentang permainan angka. Bukan hanya Sudoku, bukan hanya kripto. Maksud saya sejarah mendalam dari teka-teki yang terlihat seperti mainan tetapi sebenarnya merupakan pintu gerbang menuju matematika yang serius.

Ini adalah kategori yang berantakan. Anda tidak dapat menyimpannya dengan rapi. Beberapa di antaranya adalah hiburan yang bodoh. Masalah lainnya adalah masalah yang belum terpecahkan dan telah membingungkan para matematikawan selama berabad-abad. Daftar topik yang terlibat sangat liar. Hitung. Aljabar. Geometri. Topologi. Teori grafik. Matriks. Teori kelompok. Kombinatorik. Tetapkan teori. Logika simbolik. Kemungkinan.

Cobalah untuk mengklasifikasikan semuanya. Anda akan gagal. Upaya tersebut bersifat sewenang-wenang.

Inilah hal tentang rekreasi matematika. Mereka mengaburkan batas antara hobi dan profesi.

Teka-teki polos tentang melintasi suatu jalan mungkin memaksa Anda masuk ke dalam teori grafik. Menghitung bagian bangun geometri? Itu kombinatorik. Membedah poligon? Teori kelompok. Kesimpulan logis? Matriks.

Hal-hal yang tampak mustahil di abad pertengahan kini menjadi sepele berkat metode modern.

Mengapa Kami Bermain

Ada dorongan universal untuk memecahkan sebuah teka-teki. Tidak peduli apakah Anda muda atau tua. Canggih atau tidak.

G.H. Hardy, seorang matematikawan Inggris terkemuka, mencatat hal ini. Pembuat teka-teki profesional juga mengetahuinya. Mereka mengeksploitasinya. Masyarakat mendapat dorongan intelektual darinya.

Literaturnya sangat luas. Khususnya sejak abad ke-20.

Beberapa di antaranya berulang-ulang. Anehnya, setiap generasi menganggap chestnut tua itu enak. Bahkan saat mereka mengenakan baju baru. Materi baru ditambahkan terus-menerus.

Masa-masa Awal

Orang-orang selalu suka menciptakan tantangan. Kenikmatan intelektual. Keingintahuan. Misteri.

Banyak rekreasi awal yang bertahan karena daya tarik ini. Beberapa berasal dari Yunani dan Romawi kuno. Kita hanya tahu sedikit tentang mereka selama Abad Kegelapan. Bunga kembali muncul selama Abad Pertengahan.

Mengapa? Percetakan ditemukan. Penulis teks aritmatika menjadi antusias. Ahli aljabar dan cendekiawan awal memulai persaingan dan perselisihan.

Ini paling menonjol di Benua Eropa. Italia. Jerman.

Kontributor terkemuka meliputi:
*Rabi ben Ezra (1140)
* Fibonacci (Leonardo dari Pisa; 1202)
* Robert Recorde (1542)
* Girolamo Cardano (1545)

Dua Jenis Masalah

Permasalahan umumnya terbagi dalam dua kelompok.

Manipulasi objek.
Komputasi.

Tipe pertama membutuhkan sedikit keterampilan matematika. Hanya kecerdasan dan kecerdikan umum.

Pikirkan masalah penuangan. Atau penyeberangan yang sulit.

Contoh Penuangan:
Anda perlu mengukur satu liter cairan. Anda hanya memiliki ukuran delapan liter, lima liter, dan tiga liter. Bagaimana Anda melakukannya?

Contoh Penyeberangan Sulit:
Tiga pasangan harus menyeberangi sungai. Perahu itu hanya memuat dua orang. Setiap suami terlalu cemburu untuk meninggalkan istrinya bersama pria lain. Bagaimana cara mereka menyeberang?

Banyak varian dari kedua jenis tersebut muncul selama bertahun-tahun.

Tantangan Komputasi

Tipe kedua melibatkan perhitungan aktual. Bentuknya bermacam-macam.

Berikut beberapa contohnya.

Menemukan Nomor

Pikirkan sebuah angka.
Lipat tigakan.
Ambil setengah produk.
Lipat tigakan hasilnya.
Ambil setengahnya lagi.
Mempersembilan.

Hasil bagi akan menjadi seperempat dari bilangan asli Anda.

Masalah “Sapa-Anda-Tuhan”.

Seseorang berkata: “Jika jumlah kita sama banyaknya dan setengahnya lagi, maka jumlah kita akan menjadi 30 orang.”

Teksnya dimulai dengan “Salam Tuhan, kalian semua 30 sahabat.” Sebenarnya ada berapa banyak?

Masalah Papan Catur

Tempatkan satu butir gandum di kotak pertama.
Dua pada detik.
Empat pada yang ketiga.
Lakukan ini untuk seluruh 64 kotak.

Berapa banyak biji-bijian yang dibutuhkan seluruhnya?

Singa di Sumur

Ini klasik. Ini berkaitan dengan pergerakan laju konstan yang terhalang oleh gerakan mundur.

Seekor singa berada di dalam sumur sedalam 50 telapak tangan.
Ia memanjat 1/7 telapak tangan setiap hari.
Ia tergelincir ke belakang 1/9 telapak tangan.

Dalam berapa hari itu akan keluar?

Masalah Kurir

Ini melibatkan benda yang bergerak dengan kecepatan tertentu. Anda tahu posisi mereka pada satu titik. Anda perlu mencari waktu yang diperlukan untuk sampai pada posisi lain yang ditentukan.

Booming Hiburan Matematika Abad ke-17

Jauh sebelum internet menawarkan teka-teki yang tak ada habisnya, abad ke-17 menyaksikan lonjakan buku yang sepenuhnya membahas masalah rekreasi. Ini bukan hanya latihan akademis yang kering. Mereka juga membahas mekanika dan filsafat alam. Percikan sebenarnya datang dari Perancis.

Claude-Gaspar Bachet de Méziriac mengubah permainan. Dia adalah salah satu pionir paling awal di bidang ini. Teringat karena Diophanti, edisi teori bilangan Yunaninya tahun 1621, Bachet juga menghapus Problèmes plaisans et delectables qui se font par les nombres pada tahun 1612.

Buku kedua ini menjadi cetak birunya. Buku ini diterbitkan dalam lima edisi, dengan yang terakhir dicetak pada tahun 1959. Itu adalah umur simpan yang lama untuk sebuah buku teka-teki.

Bachet fokus pada aritmatika dibandingkan geometri. Tantangannya spesifik dan tajam.
– Dia memperkenalkan basis bilangan selain 10.
– Dia memasukkan trik kartu.
– Dia menciptakan teka-teki jam dengan mengandalkan skema penomoran unik.
– Dia mengajukan masalah klasik untuk menemukan kumpulan bobot terkecil untuk mengukur setiap pon dari 1 hingga 40.
– Dia melakukan skenario penyeberangan sungai yang sulit.

Ini adalah teka-teki matematika asli yang mendefinisikan genre ini selama beberapa dekade.

Peniru Perancis dan Ekspansi Jerman

Tren ini tidak berhenti di Bachet. Pada tahun 1624, Jean Leurechon menerbitkan Récréations mathématiques. Dia menulis dengan nama pena van Etten.

Buku Leurechon sangat mengejutkan. Buku ini telah melewati setidaknya 30 edisi sebelum tahun 1700. Buku ini populer meskipun sebagian besar merupakan salinan. Leurechon mengambil permasalahan Bachet yang lebih sederhana dan mengabaikan bagian yang lebih signifikan. Ada beberapa karya orisinal, tapi kebanyakan berfungsi sebagai model.

Itu mempengaruhi Mydorge dan Schwenter. Terjemahan bahasa Inggrisnya tiba pada tahun 1633. Judulnya menarik: Mathematicall Recreations, or a Collection of Sundrie Problemes… Judulnya menjanjikan rahasia di alam dan eksperimen di bidang aritmatika, geometri, dan optik. William Oughtred menerjemahkannya.

Pihak Prancis terus memproduksi konten. Claude Mydorge menerbitkan Examen du livre des récréations mathématiques pada tahun 1630. Kemudian Denis Henrion merilis versinya sendiri pada tahun 1659, sebagian besar mendasarkannya pada Mydorge.

Sementara itu, pengaruhnya melintasi saluran hingga ke Jerman. Daniel Schwenter, seorang profesor bahasa Ibrani dan matematika, mengumpulkan banyak sekali koleksi. Dia menggunakan terjemahan karya Leurechon dan menambahkan temuannya sendiri.

Deliciae Physico-mathematicae oder Mathische und Philosophische Erquickstunden muncul secara anumerta pada tahun 1636. Ini sangat populer. Dua edisi tambahan menyusul pada tahun 1651 dan 1653. Selama bertahun-tahun, edisi Schwenter yang diperbesar merupakan risalah paling komprehensif dari jenisnya.

Italia juga tidak ketinggalan. Jesuit Mario Bettini menerbitkan karya dua jilid berjudul Apiaria Universae Philosophiae Mathematicae pada tahun 1641–42. Jilid ketiga, Recreationum Mathematicarum Apiaria Novissima, menyusul pada tahun 1660.

Lalu datanglah Johann Mohr di Schleswig. Pada tahun 1665, ia menerbitkan Arithmetische Lustgarten, tiruan dari Schwenter.

Masuknya Inggris yang Terlambat

Inggris datang terlambat ke pesta. William Leybourn bukan hanya seorang penulis. Dia adalah seorang guru matematika, penulis buku teks, dan surveyor.

Pada tahun 1694, ia menerbitkan Kesenangan dengan Keuntungan: Terdiri dari Rekreasi Berbagai Jenis. Daftar genrenya lengkap: numerik, geometris, mekanis, statis, astronomi, horometri, kriptografi, magnetis, otomatis, kimia, dan historis.

Halaman judul memiliki tujuan yang jelas. Tujuannya adalah untuk “menciptakan kembali roh-roh yang cerdik dan mendorong mereka untuk meneliti lebih jauh ilmu-ilmu agung ini.” Ia juga ingin mengalihkan generasi muda dari keburukan.

Sebagian besar volumenya adalah materi buku teks konvensional. Karya-karya terbitan Leybourn tumbuh dari karir mengajarnya. Dia mendidik sekaligus menghibur.

Era teka-teki cetak menyiapkan panggung untuk segala sesuatu yang terjadi setelahnya.

Booming abad ke-18 dan ke-19

Abad ke-18 tidak hanya membuat api tetap menyala. Itu memberinya makan. Inggris menyaksikan banyak sekali publikasi. Edward Hatton. Thomas Gent. Samuel Clark. William Hooper. Semua ikut-ikutan. Lalu tibalah tahun 1775. Charles Hutton mengeluarkan lima jilid kutipan dari Ladies’ Diary. Mereka fokus pada pelajaran matematika dan puisi yang menghibur. Benua ini tidak jauh tertinggal. Christian Pescheck. Abat Bonaventura. Paul Halcken di Belanda. Edme-Gilles Guyot menerbitkan Nouvelles Récréationsphysical et mathématiques dalam empat volume pada tahun 1769 dan 1786.

Tapi ada satu nama yang menonjol dibandingkan nama lainnya. Jacques Ozanam. Dia adalah pelopor genre ini selama dua abad berikutnya. Récréations mathématique etphysicals karyanya pertama kali beredar dalam empat volume pada tahun 1694. Edisi ini terus diterbitkan tanpa henti. Dia membangun Bachet, Mydorge, Leurechon, dan Schwenter. Belakangan, Montucla merevisi dan memperbesarnya. Kemudian Charles Hutton menerjemahkannya ke dalam bahasa Inggris pada tahun 1803 dan 1814. Edward Riddle merombaknya lagi pada tahun 1840 dan 1844.

Paruh pertama abad ke-19 tenang. Keluaran sedang. Penulis yang lebih rendah. Lalu babak kedua meledak. Peningkatan minat terjadi hingga pergantian abad. Edouard Lucas. C.L. Dodgson, alias Lewis Carroll. Récréations mathématiques karya Lucas memuat empat volume antara tahun 1882 dan 1894. Ini menjadi buku klasik. Dodgson membawa cita rasa tersendiri. Logika Simbolik. Permainan Logika. Masalah Bantal. Dan A Tangled Tale dalam dua volume dari tahun 1885 hingga 1895.

Kelas berat abad kedua puluh

Masuki abad ke-20 dan Anda akan menemukan beberapa tokoh berwarna-warni. Dua orang Amerika bernama Sam Loyd. Ayah dan anak. Loyd yang lebih tua adalah mesin dalam membuat teka-teki. Dia menjual kolom mingguannya ke sindikat nasional selama bertahun-tahun. Itu adalah jangkauan yang serius. Dia juga menciptakan atau mengadaptasi ratusan teka-teki mekanis. Kardus. Kayu. Logam. Semuanya menguntungkan secara finansial.

Ketika Loyd II meninggal pada tahun 1934 pada usia 60 tahun, perkiraan tersebut sangat mengejutkan. Dia telah menghasilkan setidaknya 10.000 teka-teki. Itu banyak permainan asah otak.

Jerman punya kontribusinya sendiri. Hermann Schubert menerbitkan Zwölf Geduldspiele pada tahun 1899. Kemudian Mathematische Mussestunden terbit dalam tiga jilid pada tahun 1907–09. Wilhelm Ahrens sibuk antara tahun 1904 dan 1920. Mathematische Unterhaltungen und Spiele miliknya (dua jilid, 1910) memuat bibliografi yang ekstensif. Itu adalah sentuhan seorang sarjana.

Inggris memiliki Henry Dudeney. Dia berkontribusi pada Strand Magazine. Koleksi teka-tekinya sangat populer. Mereka terus dicetak ulang antara tahun 1917 dan 1967. W.W. Rekreasi dan Esai Matematika Rouse Ball diluncurkan pada tahun 1892. Ini menjadi puasa klasik. Mengapa? Pendekatan ilmiahnya membedakannya. Itu melewati sepuluh edisi. H.S.M. Coxeter, seorang profesor Inggris, merevisinya pada tahun 1938. Ini tetap menjadi referensi standar hingga saat ini.

Maurice Kraitchik juga patut disebutkan. Dia mengedit Sphinx dan menulis beberapa karya terkenal antara tahun 1900 dan 1942.

Pergeseran gigi di pertengahan abad

Di sinilah topiknya menjadi menarik. Sekitar pertengahan abad ke-20, fokusnya bergeser. Sebelumnya, minatnya terletak pada hiburan tertentu. Keingintahuan numerik. Teka-teki geometris sederhana. Soal cerita aritmatika. Melipat kertas. Angka string. Diseksi geometris. Teka-teki manipulatif. Trik dengan angka dan kartu. Kotak ajaib.

Pengalihan perhatian itu juga besar. Tiga bagian sudut. Duplikasi kubus. Mengkuadratkan lingkaran. Bahkan dimensi keempat yang sulit dipahami.

Pada pertengahan abad, perkembangannya sudah menuju kecanggihan. Kriptogram menjadi populer. Aritmatika modular. Basis penomoran. Teori bilangan. Grafik dan jaringan. kisi-kisi. Teori kelompok. Keingintahuan topologi. Pengepakan dan penutup. Flexagon. Masalah kombinatorial. Teori probabilitas. Masalah inferensial.

Paradoks logis menjadi pusat perhatian. Kekeliruan logika. Paradoks yang tak terbatas. Perhitungannya menjadi lebih berat. Permainan menjadi lebih pintar.

Rekreasi aritmatika dan aljabar

Pola angka dan keingintahuan

Beberapa pengelompokan bilangan asli mengungkapkan pola yang luar biasa ketika Anda menghitungnya dengan aritmatika biasa. Ini memberikan hiburan yang menyenangkan. Lihatlah contoh ini:

Matematika Tersembunyi di Balik Kelas Multigrade

Ini bukan hanya tentang menjumlahkan beberapa bilangan bulat. Kelas rangkap adalah jenis permainan angka tertentu di mana dua rangkaian angka berbeda berbagi lebih dari sekedar jumlah dasarnya. Mereka juga cocok saat Anda meningkatkannya ke kekuatan yang lebih tinggi.

“Identitas antara jumlah dua himpunan bilangan dan jumlah kuadratnya atau pangkat yang lebih tinggi.”

Anggap saja sebagai fatamorgana matematika. Anda mengambil Set A dan Set B. Tambahkan angka di masing-masingnya. Totalnya identik. Sekarang kuadratkan setiap angka di kedua set. Jumlah kuadratnya juga sama. Anda dapat melangkah lebih jauh lagi—kubus, kekuatan keempat, dan seterusnya.

Ini bukanlah keberuntungan yang acak. Itu adalah identitas terstruktur. Matematikawan menggunakan ini untuk mengeksplorasi bagaimana angka-angka berhubungan lebih dari sekedar aritmatika sederhana. Ini adalah teka-teki yang membutuhkan ketelitian. Satu digit salah dan seluruh simetrinya runtuh.

Mengapa kami peduli? Karena pola-pola ini mengungkap hubungan mendalam dalam teori bilangan. Mereka menunjukkan bahwa bilangan bulat dapat berperilaku mengejutkan dan terkoordinasi. Ini seperti menemukan dua lagu berbeda yang memiliki ritme dan melodi yang sama.

Pembelajaran tentang kelas rangkap terus menarik. Ini adalah bidang khusus matematika yang terasa hampir ajaib. Dan semuanya dimulai dengan sebuah pertanyaan sederhana: bisakah dua kelompok angka yang berbeda benar-benar sama dalam berbagai dimensi?

Membangun Kelas Multi dari Awal

Mulailah dengan sesuatu yang sepele. Persamaan sederhana seperti 1 + 5 = 2 + 4. Ini hampir tidak layak untuk diperhatikan. Kemudian tambahkan lima untuk setiap suku. Perhitungannya berlaku. 6 + 10 = 7 + 9.

Ini adalah benihnya. Cara mudah untuk membentuk kelas multigrade dimulai di sini.

Tapi itu hanya pengaturannya. Untuk mencapai kelas multigrade tingkat kedua, Anda harus membalik skripnya. Ganti sisinya. Gabungkan mereka.

Ini terlihat seperti ini:

1 + 5 + 6 + 10 = 2 + 4 + 7 + 9

Angka-angka tersebut tidak berbohong. Mereka seimbang.

Lihatlah matematika sebentar. Jika Anda mengambil sekumpulan angka tertentu, jumlah pangkat pertama ($S_1$) akan menghasilkan tepat 22. Tambahkan pangkat kedua ($S_2$), dan angka tersebut melonjak menjadi 156. Ini adalah kantong matematika kecil yang ketat.

Tapi kemudian Anda mengubahnya.

Ambil setiap angka di set itu dan tambahkan 10 ke dalam campuran. Tiba-tiba, Anda tidak lagi hanya bermain-main dengan jumlah dasar. Anda telah membuka kunci multigrade tingkat ketiga.

Ini bukan hanya tentang hal-hal sepele aritmatika. Ini tentang bagaimana pergeseran garis dasar mengubah integritas struktural suatu barisan bilangan. Dengan menerjemahkan seluruh himpunan dengan faktor konstan, Anda mempertahankan kesetaraan jumlah pangkat di kedua sisi sambil menaikkan urutan identitas.

Hasilnya? Persamaan yang lebih kompleks yang dapat diamati dalam perhitungan pangkat ketiga. Angkanya berubah, tapi keseimbangannya tetap ada. Dan terkadang, yang diperlukan untuk membuka pola yang lebih dalam hanyalah menambahkan sepuluh pada setiap suku.

Melampaui Kelas Multigrade: Dunia Keingintahuan Angka yang Aneh

Jika Anda mengira telah melihat semuanya dengan persamaan jumlah-pangkat standar, lihat lebih dekat. Perhitungannya tidak berhenti pada beberapa variabel. Itu berputar.

Mari kita lihat contohnya lagi. S 1 berada di 84. S 2 melonjak ke 1.152. S 3? Itu 17.766.

Anda bisa melanjutkan. Tanpa batas waktu. Membangun kelas rangkap yang tingkatannya lebih tinggi secara berturut-turut. Strukturnya bertahan.

Begini caranya: kalikan atau bagi setiap suku dengan angka yang sama. Kesetaraan tetap tidak tersentuh. Ini fleksibel.

Variasi berlimpah. Anda dapat menemukan kelas rangkap palindromik. Ini dibaca sama ke belakang dan ke depan. Atau mungkin Anda lebih suka bilangan prima. Anda dapat membangun kelas rangkap yang seluruhnya terdiri dari kelas-kelas tersebut.

Tapi ada keanehan lain yang mengintai di bilangan bulat. Angka narsistik.

Ini adalah angka-angka yang dapat diwakili oleh semacam manipulasi matematis dari angka-angkanya. Ambil bilangan bulat. Sebuah bilangan bulat. Naikkan setiap digit ke pangkat n. Jumlahkan semuanya. Jika hasilnya adalah bilangan asli, Anda telah menemukan invarian digital sempurna.

Pertimbangkan 153.

13 + 53 + 33 = 153.

Ini berhasil. Digit tersebut memberi kekuatan pada dirinya sendiri dan menjumlahkan induknya.

Lalu ada invarian digital berulang. Itu berputar.

Dunia matematika rekreasi menyukai trik pesta yang bagus, dan invarian digital adalah kehidupan pesta. Joseph Madachy, dalam bukunya Mathematics on Vacation, menunjukkan bahwa ini bukan hanya keingintahuan yang terisolasi. Mereka hadir dalam variasi yang membuat para ahli matematika terhibur selama berjam-jam.

Kekuatan Jumlah Digit

Ada satu jenis keingintahuan tertentu yang menonjol. Ini melibatkan angka yang sama dengan pangkat n dari jumlah digitnya.

Pikirkan seperti ini. Ambil nomor. Jumlahkan digitnya. Naikkan jumlah itu ke pangkat tertentu. Jika hasilnya adalah angka asli lagi, maka Anda sudah menemukan kecocokan. Ini adalah sebuah lingkaran. Gema digital.

“Suatu keingintahuan dicontohkan dengan suatu bilangan yang sama dengan pangkat n dari jumlah digit-digitnya.”

Ini bukan sembarang properti acak. Ini mendefinisikan kelas bilangan bulat tertentu yang berperilaku tidak biasa dalam operasi aritmatika dasar. Huruf “n” di sini adalah variabel kunci. Ini menentukan kekuatan eksponen. Ubah pangkatnya, dan angka tersebut biasanya merusak polanya. Itulah yang menjadikannya invarian digital. Jumlahnya tetap konstan relatif terhadap transformasi yang ditentukan oleh n.

Madachy menyoroti hal ini karena menunjukkan bagaimana aturan sederhana—menambahkan angka, lalu eksponensial—dapat menghasilkan titik stabil. Angka-angka ini menjadi jangkar bagi kekacauan perhitungan. Jarang terjadi. Tapi mereka ada. Dan begitu Anda menemukannya, Anda mulai mencari yang lain. Perburuan menjadi permainan.

Anda mungkin pernah mendengar tentang bilangan automorfik. Mereka adalah bilangan bulat yang kuadratnya diakhiri dengan angka yang sama persis dengan bilangan aslinya. Ambil 25. Kuadratkan dan Anda mendapatkan 625. Dua digit terakhir? Masih 25. Coba 76. Kuadratnya adalah 5776. Sekali lagi, berakhir dengan 76. Ini bukan hanya kebetulan belaka. Itu adalah keanehan matematika yang terasa hampir mistis.

Lalu ada angka strobogrammatik. Ini terlihat identik ketika Anda memutarnya 180 derajat. Pikirkan tentang 69. Balikkan. Menjadi 96. Tunggu, itu kurang tepat untuk “membaca yang sama”. Mari kita lihat 96 diputar. Sepertinya 96 terbalik? Tidak, sebenarnya 6 menjadi 9 dan 9 menjadi 6. Jadi 69 yang diputar adalah 69? Tidak, 69 diputar 180 derajat terlihat seperti 69. Ya. Dan 96 diputar terlihat seperti 96. Juga 1001. Balikkan. Masih 1001. Sifat-sifat ini menunjukkan bahwa angka memiliki kepribadian yang tersembunyi.

Tantangan Empat Sembilan

Hal ini membawa kita ke ranah permasalahan digital. Yang paling terkenal adalah masalah empat sembilan. Anda mungkin mengenalnya sebagai “empat angka 9” atau “empat angka 4” bergantung pada digitnya. Tujuannya sederhana namun tampaknya sulit. Nyatakan barisan bilangan bulat sebesar mungkin mulai dari 1. Anda harus menyatakan setiap bilangan bulat menggunakan tepat empat digit yang sama.

Tapi inilah hasil tangkapannya. Jawabannya bergantung sepenuhnya pada aturan pengoperasian yang boleh Anda gunakan.

Jika Anda hanya melakukan aritmatika dasar, barisannya akan berhenti dengan cepat. Anda harus menjadi kreatif. Faktorial? Akar kuadrat? Poin desimal? Rangkaian? Setiap operasi yang diizinkan membuka pintu baru.

Perhatikan contoh parsial untuk empat angka 1. Ini dimulai dengan mudah.
1 = 1 + 1 – 1 – 1 (Tidak, itu 0).
1 = 11 1*1.
2 = 1 + 1 + 1 – 1.

Kendala yang ada memaksa Anda untuk berpikir lateral. Operasi apa saja yang diperbolehkan? Bisakah Anda menggunakan faktorial ganda? Bisakah Anda menggabungkan dua angka 1 menjadi 11? Aturan khusus mengubah keseluruhan lanskap teka-teki.

Mengapa Aturan Penting

Ada versi berbeda dari teka-teki ini. Beberapa hanya mengizinkan +, -, *, /. Lainnya termasuk eksponen, logaritma, atau fungsi gamma. Semakin banyak alat yang Anda miliki, semakin tinggi jumlah yang bisa Anda jangkau. Ini bukan hanya tentang matematika. Ini tentang batasan notasi.

Bilangan strobogrammatik dan bilangan automorfik adalah keingintahuan statis. Mereka duduk di sana di garis bilangan. Teka-teki empat sembilan bersifat dinamis. Hal ini membutuhkan tindakan. Ini mengharuskan Anda untuk melanggar aturan representasi.

Ada alasan mengapa teka-teki ini masih ada. Mereka menarik bagian otak yang menikmati pengenalan pola dalam batasan yang ketat. Ini adalah permainan batasan. Semakin Anda membatasi angkanya, semakin Anda harus memperluas pemahaman Anda tentang apa yang mungkin.

Apakah mistisisme bilangan automorfik terasa memuaskan? Atau aktif

Anda pikir Anda telah memecahkan kode pada empat angka 4? Pikirkan lagi.

Daftar asli dari artikel Majalah Matematika Rekreasi M. Bicknell dan V. Hoggatt tahun 1964 hanyalah puncak gunung es. Mereka menunjukkan satu cara untuk mencapai enam puluh empat sasaran. Namun kesenangan sebenarnya terletak pada alternatifnya.

Ambil nomor tujuh. Pendekatan standar mungkin menggunakan penjumlahan dan akar kuadrat. Tapi Anda bisa dengan mudah menggunakan faktorial. Atau divisi.

Pertimbangkan ini:

7 = 4 + √4 + 4/4

Itu berhasil. Namun hal ini juga berlaku:

7 = 4!/4 + 4/4

Dan inilah perubahan lainnya:

7 = 44/4 – 4

Simbol faktorial (!) adalah wildcard di sini. Ini mengubah bilangan sederhana menjadi hasil kali semua bilangan bulat yang mengarah ke bilangan tersebut. Jadi 4! hanya 4 × 3 × 2 × 1. Hasilnya adalah 24. Tiba-tiba, Anda memiliki alat baru di dalam kotak.

Apa yang Terjadi Tanpa Faktorial?

Jika Anda melarang faktorial dari aturan, Anda tidak akan kalah. Anda cukup mengecilkan papannya.

Anda masih dapat menyatakan setiap bilangan bulat dari satu hingga dua puluh dua menggunakan empat angka 4. Hal ini membutuhkan kreativitas dengan desimal dan akar.

Lihatlah dua puluh dua. Tanpa faktorial, Anda mengandalkan koma desimal dan akar kuadrat.

22 = (4 + 4) / .4 + √4

Desimal 0,4 pada dasarnya adalah 0,4. Membagi 8 dengan 0,4 menghasilkan 20. Tambahkan akar kuadrat dari 4 (yaitu 2), dan Anda mencapai target. Itu jelek. Itu pintar. Ini berhasil.

Tapi kalau aturannya diperluas lagi? Kemungkinannya meledak. Anda tidak lagi terbatas pada aljabar dasar. Anda dapat melakukan operasi lapisan. Anda bisa merantainya.

Tingkat Selanjutnya: Bilangan Bulat Berurutan

Ada masalah saudara pada teka-teki empat 4s. Itu membalik naskahnya.

Daripada menggunakan angka yang sama empat kali, Anda menggunakan bilangan bulat positif m pertama. Aturannya sederhana: m harus lebih besar dari tiga.

Anda menggunakan simbol aljabar dasar. Anda menyusun angka 1, 2, 3, dan 4.

Hal ini menggeser tantangan dari pengulangan ke urutan. Anda tidak bisa menambahkan angka 4 begitu saja. Anda harus merangkai 1, 2, 3, dan 4 menjadi persamaan fungsional.

Ini adalah jenis senam mental yang berbeda. Dan itu baru saja dimulai.

Ada lebih dari 100 cara untuk mengatur angka satu sampai sembilan agar tepat mencapai angka 100. Itu bahkan bukan bagian yang sulit. Teka-teki ini membutuhkan kekuatan otak. Mereka tidak memerlukan matematika tingkat lanjut.

Asal Usul Kriptaritma

Istilah crypt-arithmetic muncul pada tahun 1931. Istilah ini dimulai dengan soal perkalian di jurnal Belgia Sphinx. Publikasi itu terkenal dengan permainan asah otaknya.

“Crypt-arithmetic” diperkenalkan pada tahun 1931, ketika soal perkalian berikut muncul di jurnal Belgia Sphinx

Masalahnya tampak sederhana. Itu hanya huruf yang mewakili angka. Menyelesaikannya terasa seperti memecahkan kode. Kecerdasan yang dibutuhkan tinggi. Aritmatika sebenarnya minimal. Anda mencari pola. Anda mencocokkan batasan.

Teka-teki ini memiliki banyak variasi. Ada yang meminta sejumlah uang. Yang lain meminta produk. Tujuannya selalu sama. Temukan nomor tersembunyi di balik surat itu. Ini adalah permainan logika. Bukan ujian perhitungan.

Kriptaritma adalah teka-teki matematika di mana angka diganti dengan huruf atau simbol. Sebagian besar melibatkan operasi dasar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, atau pembagian. Menyelesaikannya membutuhkan logika, bukan menebak-nebak.

Prosesnya dimulai dengan analisis. Ambil contoh sederhana. Anda melihat sebagian produk. Jika D × A sama dengan D, maka A pasti 1. Itu fakta yang sulit.

Selanjutnya, lihat C. Jika D × C dan E × C keduanya berakhiran C, C biasanya 5. Nol berfungsi jika kedua digitnya genap. Lima berhasil jika keduanya ganjil. Di sini, C = 5.

Sekarang untuk D dan E. Pasti ganjil. Namun bukan 9, karena hasil kali parsialnya hanya memiliki tiga digit. Jadi jumlahnya 3 atau 7. Yang mana?

Centang B. Jika D × B adalah satu digit, B harus kecil. Jika E × B dua angka, maka E lebih besar. Jadi E = 7 dan D = 3.

B tidak boleh nol. Tinggal 2. Jadi B = 2.

Selesaikan perhitungannya. F = 8. G = 6. H = 4. Jawabannya 125 × 37 = 4,625.

Rincian ini berasal dari 150 Puzzles in Crypt-Arithmetic oleh Maxey Brooke. Dover menerbitkannya pada tahun 1963. Ini masih klasik karena suatu alasan.

KIRIM + LEBIH BANYAK = Rincian UANG

Teka-teki ini lebih tua dari buku Brooke. Terkadang mereka muncul sebelum rekaman. Alfametika adalah tipe tertentu. Huruf-huruf itu membentuk kata-kata nyata. Salah satu yang tertua dan paling terkenal adalah KIRIM + LEBIH BANYAK = UANG.

Ini adalah persamaan sederhana. Tapi ini tampak rumit.

S = 9. E = 5. N = 6. D = 7. M = 1. O = 0. R = 8. Y = 2.

9567 + 1085 = 10652.

Periksa matematika. Ini berhasil. Setiap huruf memiliki angka unik. Tidak ada angka nol di depan. M tidak boleh nol. S tidak boleh nol. Kendala semakin ketat dengan cepat.

Mengapa teka-teki ini bertahan? Itu bersih. Ini menggunakan kata-kata umum. Rasanya seperti sebuah kode. Anda tidak hanya melakukan aritmatika. Anda sedang memecahkan kode pesan.

Alfametika lainnya ada. SALIB + MAWAR = ARSENIK. MAKAN + ITU = KUE. Tingkat kesulitannya berbeda-beda. Beberapa di antaranya sepele. Yang lain membutuhkan waktu berjam-jam. Logikanya sama. Temukan jangkarnya. Sebuah angka yang memaksa yang lain. Sebuah carry yang mematahkan pola.

Orang-orang masih menyelesaikannya sampai sekarang. Bukan hanya untuk matematika. Untuk kepuasan. Saat potongannya berbunyi klik. Kata yang tersembunyi terungkap. Ini adalah latihan mental. Pendek. Tajam. Memuaskan.

Teka-teki ini tidak berakhir pada jawabannya. Itu berakhir dengan pemahaman. Bagaimana huruf-huruf itu berinteraksi. Bagaimana angka-angka tersebut berperilaku. Ini adalah dunia yang kecil. Mandiri. Logis.

Namun. Anda akan melihatnya lagi. Di sebuah majalah. Di sebuah forum. Di ruang kelas. Logika yang sama. Kata-kata yang berbeda. Nomor yang berbeda. Sensasi yang sama.

Apakah ada batas seberapa rumitnya hal ini

Aturan standar untuk alfametika sangat ketat. Huruf pertama dari kata apa pun tidak boleh nol. Tidak ada dua huruf yang mewakili angka yang sama. Pelanggaran aturan ini dan Anda memerlukan petunjuk khusus untuk membenarkan pengecualian tersebut. Beberapa teka-teki sangat padat sehingga memiliki banyak solusi. Komputer mengatasi kompleksitas ini.

Jebakan Logika yang Salah

Para matematikawan terobsesi dengan paradoks dan kekeliruan selama berabad-abad. Sebuah paradoks menghentikan Anda. Logikanya bertahan. Setiap langkah valid. Namun kesimpulannya sangat aneh sehingga Anda menolak untuk mempercayainya. Ini berlawanan dengan intuisi. Rasanya salah.

Kekeliruan berbeda. Itu sebuah kesalahan. Penalaran yang tidak tepat akan menghasilkan hasil yang jelas-jelas tidak masuk akal. Kesalahan tersebut biasanya melanggar prinsip inti matematika atau logika. Para pemula sangat menyukainya. Mereka tidak melihat jebakan tersembunyi. Kecuali Anda mengetahui aturan tersebut dilanggar, kesalahannya tetap tidak terlihat.

Lalu ada sofisme. Kesalahan ini disengaja. Dilakukan dengan sengaja. Untuk alasan tertentu. Namun bagaimana jika perhitungan yang salah secara tidak sengaja menghasilkan jawaban yang benar? Itu sebuah kesalahan besar. Ini adalah seni membuat kesalahan yang benar.

Ketidakterbatasan menyebabkan banyak masalah. Membatasi proses menciptakan paradoks. Ambil seri tak terbatas.

Jumlah Tak Terbatas Yang Tidak Pernah Menyentuh 2

Anda memiliki seri yang terus meningkat. Semakin banyak istilah yang Anda tambahkan ke tumpukan, semakin tinggi totalnya. Ini adalah kenaikan yang stabil dan tanpa henti. Tapi inilah hasil tangkapannya. Jumlahnya tidak pernah benar-benar mencapai 2. Jumlahnya tetap berada di bawah batas atas tersebut.

Itu semakin dekat. Dan lebih dekat. Dan lebih dekat.

Anggap saja seperti berlari menuju dinding. Anda menempuh separuh jarak, lalu separuh jarak yang tersisa, lalu separuh lagi. Anda selalu bergerak maju. Anda selalu semakin dekat dengan target. Tapi Anda tidak pernah menyentuhnya. Ini adalah perilaku deret konvergen. Khususnya, satu dibatasi oleh 2.

“Jumlahnya selalu kurang dari 2, meskipun semakin mendekati 2 seiring bertambahnya suku.”

Ini bukan hanya trik matematika. Ini adalah konsep dasar dalam kalkulus. Ini tentang batasan. Kami tidak mencari nomor akhirnya karena tidak ada. Kami mencari perilaku ketika jumlah suku semakin tak terhingga.

Mengapa Penting untuk Matematika Budaya Pop

Oke, mungkin Anda tidak peduli dengan konvergensi deret. Tapi logika ini berlaku untuk segalanya. Pikirkan tentang nomor streaming. Sebuah acara mungkin memperoleh lebih banyak pemirsa setiap minggunya. Pertumbuhannya melambat. Ini mendekati titik jenuh. Namun hal ini tidak pernah mencapai batas teoritis maksimumnya. Itu melayang tepat di bawah.

Atau pikirkan total box office. Sebuah film mendapat penghasilan kotor lebih banyak setiap akhir pekan. Tingkat pertumbuhan menurun. Jumlah totalnya hanya beberapa inci menuju angka akhir. Tapi sampai tiket terakhir terjual, itu selalu perkiraan. Sebuah batas.

Aturan yang sama juga berlaku untuk pengikut selebriti. Mereka mendapatkan lebih banyak penggemar setiap hari. Namun akun tersebut tidak pernah benar-benar berhenti berkembang sampai orang tersebut meninggal dunia atau terdiam. Meski begitu, total sejarahnya hanyalah sebuah gambaran singkat. Suatu saat.

Seri Lainnya

Di sisi lain, serial…

Ya, teksnya terpotong. Namun biasanya, dalam perbandingan ini, “seri lainnya” adalah seri yang berbeda. Orang yang tidak peduli dengan batasan. Yang terus berkembang. Selamanya. Tidak ada langit-langit. Tidak ada dinding.

Hanya ekspansi tanpa akhir.

Mana yang lebih menakutkan? Hal yang tidak pernah bisa Anda capai? Atau hal yang tidak pernah berhenti datang?

Matematika selalu menyukai alur cerita yang bagus. Anda pikir Anda sudah mengetahuinya? Pikirkan lagi. Ambil contoh serial yang dikenal dengan judul Divergent: It Has No Limit. Jika Anda terus menambahkan istilah, jumlahnya tidak akan bertambah. Itu meledak. Ini menjadi lebih besar dari nilai apa pun yang dapat Anda pilih. Ini adalah kereta yang melaju tanpa rem.

Lalu ada paradoks bilangan genap. Ini adalah hal yang mengejutkan yang mematahkan intuisi Anda.

Jumlah bilangan asli genap sama banyaknya dengan jumlah gabungan bilangan genap dan ganjil.

Pikirkan tentang itu.

Himpunan bilangan genap merupakan himpunan bagian dari bilangan asli total. Di dunia kita yang terbatas, keseluruhan selalu lebih besar daripada bagian-bagiannya. Anda tidak dapat memiliki 5 apel dan memiliki banyak apel jika Anda hanya menghitung apel merah. Tapi tak terhingga? Infinity tidak peduli dengan aturan Anda.

Kontradiksi ini bukanlah suatu kesalahan. Ini adalah fitur koleksi yang tak terbatas.

Karena keduanya tak terhingga, maka keduanya setara untuk tujuan praktis dan matematis.

Rasanya salah. Kelihatannya salah. Namun secara matematis, jika Anda dapat memasangkan setiap elemen dalam satu kumpulan dengan elemen unik di kumpulan lainnya, maka ukurannya akan sama. Anda dapat memetakan bilangan asli (1, 2, 3…) ke bilangan genap (2, 4, 6…) satu-satu. Tidak ada sisa. Tidak ada celah.

Keseluruhan tidak lebih besar dari bagian-bagiannya di sini. Bagian-bagiannya adalah keseluruhan.

Di sinilah logika manusia menemui jalan buntu. Kita berevolusi untuk menghitung buah beri dan mengenali predator, bukan untuk menavigasi kedalaman abstrak dari rangkaian yang tak ada habisnya. Saat Anda menangani objek yang jumlahnya tak terhingga, kesetaraan berada di urutan belakang dibandingkan korespondensi.

Jadi, apakah ini sebuah paradoks? Secara teknis. Hal ini bertentangan dengan anggapan kuno bahwa keseluruhan lebih penting daripada bagian mana pun. Tapi itu hanya sebuah kontradiksi jika Anda bersikeras menerapkan aturan terbatas pada kanvas tak terbatas.

Begitu Anda menerima bahwa ketidakterbatasan berperilaku berbeda, “kontradiksi” tersebut lenyap. Ini hanyalah kesetaraan yang berbeda.

Mengapa ini penting bagi Anda? Ini bukan hanya jargon akademis. Ini adalah dasar dari kalkulus, pemahaman tentang laju perubahan, dan cara kita memodelkan alam semesta. Tanpa memahami bahwa ada beberapa hal yang tidak sesuai dengan pengertian tradisional, fisika modern tetap terjebak dalam lumpur.

Tapi itu masih aneh.

Anda dapat terus membagi garis menjadi dua selamanya. Anda tidak akan pernah mencapai akhir. Anda tidak akan pernah selesai. Namun, Anda sampai di sana.

Bagaimana Anda menyelaraskan hal itu dengan cara Anda menjalani dunia? Anda tidak melakukannya. Anda cukup menerima perhitungannya dan melanjutkan.

Zeno dari Elea sebenarnya tidak mengira Achilles tidak akan pernah bisa menangkap kura-kura itu. Dia hanya menyukai jebakan logis yang bagus.

Sekitar tahun 450 SM, dia mengemukakan empat argumen yang dirancang untuk mematahkan otak Anda. Pengaturannya sederhana. Achilles balapan dengan kura-kura. Kura-kura mulai lebih dulu. Zeno berpendapat bahwa Achilles tidak akan pernah bisa menyusulnya. Mengapa? Karena sebelum sampai di tempat dimana kura-kura berada, kura-kura tersebut telah berpindah ke tempat yang baru. Lalu yang lainnya. Dan satu lagi. Langkah tak terbatas. Tidak ada garis finis.

Itu adalah sebuah sofisme. Sebuah trik. Zeno tahu itu cacat. Tujuannya bukan untuk membuktikan bahwa gerakan itu mustahil. Hal ini untuk mengungkap kelemahan dalam cara kita berpikir tentang ruang dan waktu.

Tiga paradoks lainnya mempunyai catatan serupa. Dikotomi menyatakan bahwa mosi bahkan tidak dapat dimulai. Anda harus melintasi separuh jarak terlebih dahulu, lalu separuhnya lagi, selamanya. Panah berpendapat bahwa pada saat tertentu, panah yang terbang sebenarnya tidak bergerak. Jika waktu tercipta dalam sekejap, dan masih ada dalam setiap momen, maka ia tidak pernah bergerak. Lalu ada Stadion, yang mengacaukan pemahaman Anda tentang interval waktu. Hal ini menunjukkan bahwa durasi yang pendek sama dengan durasi yang panjang. Hanya untuk membuatmu kehilangan keseimbangan.

Ini bukan hanya permainan kata-kata. Mereka menyelidiki batas-batas dan ketidakterbatasan. Konsep-konsepnya begitu licin sehingga tidak terselesaikan selama ribuan tahun. Butuh waktu hingga abad ke-19 agar matematika dapat mengejar ketertinggalannya. Analisis yang cermat akhirnya tiba. Teori bilangan transfinit mendapat dasar. Hanya dengan begitu kita dapat menjelaskan dengan tepat mengapa langkah Zeno yang tak terbatas tidak benar-benar menghalangi Achilles untuk memenangkan perlombaan.

Tapi mari kita beralih. Pindah dari Yunani kuno ke kelas aljabar sekolah menengah Anda.

Kekeliruan aljabar yang umum terjadi berdasarkan prinsip jebakan tersembunyi yang serupa. Mereka biasanya melanggar satu atau lebih asumsi dasar berikut:

Ini dimulai dengan kontradiksi sederhana. Anda pikir Anda sedang mengerjakan aljabar. Kamu tidak. Anda sedang membangun rumah kartu di tengah badai.

Ambil variabel a. Dan variabel b. Barang standar. Tapi kemudian aturannya berubah. Tiba-tiba, a harus lebih besar dari b. Dan juga lebih kecil dari b. Pada saat yang sama. Ini tidak hanya salah. Itu tidak mungkin. Ini merupakan pelanggaran terhadap realitas dasar. Anda tidak bisa berada di atas dan di bawah garis.

Itulah contoh pertama dari kesalahan logika. Istirahat yang bersih dan sulit.

Lalu ada kesalahan jenis kedua. Yang berantakan. Si ‘orang bodoh yang beruntung’.

Tidak, itu bukan salah ketik. Itu sebuah istilah. Ini mengacu pada operasi ilegal. Anda beruntung. Anda tersandung pada hasil yang tampak benar tetapi pada dasarnya rusak. Ini adalah peretasan. Solusi yang tidak tahan air. Anda tidak menyelesaikan persamaannya. Anda memalsukan solusinya.

Dan Anda akan tahu itu palsu karena tidak akan lolos pemeriksaan. Jumlahnya tidak akan bertambah. Logikanya akan runtuh. Sama seperti a tidak bisa lebih besar dan lebih kecil dari b.

Ini bukan hanya kesalahan ketik. Itu adalah kegagalan struktural. Anda membangunnya, semuanya akan runtuh.

Obsesi Pythagoras dengan bentuk angka

Angka bukan sekadar simbol abstrak. Bagi kaum Pythagoras, sekitar tahun 500 SM, mereka memiliki kepribadian. Mereka memiliki bentuk.

Ketertarikan ini bukanlah hal baru. Para sarjana Tiongkok kuno kemungkinan besar mengetahui konsep-konsep ini. Pada abad ke-15, mereka muncul dalam buku-buku aritmatika. Namun orang-orang Yunani kuno mengambil langkah lebih jauh. Mereka percaya segala sesuatu bisa dijelaskan dengan angka. Dan angka-angka itu mempunyai ciri-ciri tertentu.

Hal ini menyebabkan ditemukannya bilangan poligonal. Juga dikenal sebagai bilangan figuratif, bilangan ini mewakili hitungan yang disusun menjadi bangun-bangun geometris. Ini adalah konsep yang terdengar sederhana saat ini. Tapi saat itu, itu adalah sebuah wahyu.

Angka-angka ditanamkan dengan karakteristik dan kepribadian tertentu.

Ambil segitiga. Ini adalah bentuk paling dasar. Bilangan segitiga yang pertama adalah 1. Bilangan segitiga kedua adalah 3. Bilangan ketiga adalah 6. Lalu 10. Lalu 15. Lalu 21.

Visualisasikan itu.

Titik atau titik tersusun membentuk segitiga.

Ini bukan sekedar daftar. Itu adalah pola visual.

Namun mengapa hal ini begitu penting bagi Pythagoras dan para pengikutnya?

Karena mereka melihat alam semesta sebagai sesuatu yang matematis. Jika Anda dapat memetakan suatu angka ke bentuk fisik, Anda telah menemukan sebagian kebenarannya. Ini bukan hanya tentang menghitung. Ini tentang struktur.

Ide ini memicu eksplorasi selama berabad-abad. Matematikawan tidak berhenti pada segitiga. Mereka mencari kotak. Pentagon. segi enam. Setiap bentuk mengungkapkan hubungan baru.

Penganut Pythagoras mengakui bahwa angka memiliki “bentuk”.

Wawasan ini mengubah cara kita berpikir tentang aritmatika. Ini bukan hanya tentang penjumlahan dan perkalian. Itu tentang geometri.

Dan itu dimulai dengan titik-titik.

Jika Anda mencermati barisan bilangan segitiga—1, 3, 6, 10—Anda akan menemukan pola geometris tersembunyi yang menjelaskan mengapa persegi sangat umum di alam dan matematika. Hubungan tersebut tidak sembarangan. Ini bersifat struktural.

Bilangan kuadrat, yaitu kuadrat bilangan asli seperti 1, 4, 9, 16, dan 25, mempunyai representasi visual. Mereka dapat disusun menjadi susunan titik-titik persegi yang sempurna. Bukti visual ini sering ditunjukkan dalam geometri pengantar, namun hubungan yang lebih dalam terletak di tempat lain.

Koneksi Segitiga-ke-Persegi

Keajaiban sesungguhnya terjadi ketika Anda menggabungkan bilangan segitiga yang berdekatan. Ambil dua bilangan segitiga pertama: 1 dan 3. Jumlahkan keduanya. Hasilnya adalah 4. Itu bilangan kuadrat.

Sekarang coba pasangan berikutnya. Bilangan segitiga kedua adalah 3. Bilangan ketiga adalah 6. Jumlahkan. Anda mendapatkan 9. Kotak lainnya.

Ini bukanlah suatu kebetulan. Jumlah dua bilangan segitiga yang berdekatan selalu sama dengan bilangan kuadrat.

“Jumlah dua bilangan segitiga yang berdekatan selalu merupakan bilangan kuadrat.”

Kebenaran geometri ini menjelaskan mengapa persegi begitu sering muncul dalam sistem penghitungan. Ini bukan hanya tentang mengkuadratkan suatu variabel. Ini tentang menumpuk bentuk. Jika Anda menyusun titik-titik dalam sebuah segitiga dan kemudian menempatkan segitiga lain yang sedikit lebih besar di sebelahnya, titik-titik tersebut akan menyatu dengan sempurna untuk membentuk persegi yang lebih besar.

Properti ini menghubungkan teori bilangan langsung dengan ruang visual. Ini mengubah aritmatika abstrak menjadi teka-teki fisik. Anda tidak memerlukan kalkulator untuk melihatnya. Anda hanya perlu menggambarnya.

Dan itulah sebabnya kami terus kembali ke bentuk dasar ini. Mereka adalah landasan bagi segala hal lainnya.

Mengapa Bilangan Bujur Penting dalam Matematika Budaya Pop

Anda tidak melihat angka lonjong disebutkan dalam setiap naskah film, tetapi angka tersebut tersembunyi di depan mata setiap kali film membahas tentang grid, array, atau bahkan hanya geometri dasar. Anggap saja mereka sebagai sepupu persegi panjang dari bilangan segitiga. Itu bukan hanya konsep abstrak. Mereka adalah bilangan bulat spesifik yang mewakili titik-titik yang disusun dalam persegi panjang dengan satu sisi lebih panjang satu unit dari sisi lainnya.

Urutannya dimulai dari yang kecil. 2, 6, 12, 20, 30. Cukup sederhana. Tapi lihat lebih dekat. Setiap bilangan adalah hasil kali dua bilangan bulat berurutan. 1 kali 2 sama dengan 2. 2 kali 3 sama dengan 6. 3 kali 4 menghasilkan 12. Ini adalah pola yang berulang dengan presisi mekanis.

“Bilangan lonjong dibentuk dengan menggandakan bilangan segitiga apa pun.”

Hubungan ini adalah kuncinya. Jika Anda mengambil bilangan segitiga—seperti 1, 3, 6, 10—dan menggandakannya, Anda akan mendapatkan bilangan lonjong. 1 digandakan adalah 2. 3 digandakan adalah 6. 6 digandakan adalah 12. Perhitungannya bertahan. Ini adalah hubungan langsung antara dua bentuk fundamental dalam teori bilangan.

Beberapa orang mungkin bertanya mengapa hal ini penting di luar buku teks. Tidak. Tidak terlalu. Namun menyenangkan mengetahui bahwa 20 bukan hanya usia atau tahun yang acak. Ini adalah 4 dikalikan 5. Juga 2 ditambah 4 ditambah 6 ditambah 8. Jumlah empat bilangan genap pertama. Itulah cara kedua untuk membangun angka-angka ini. Anda dapat mengalikan pasangan berurutan atau menumpuk angka genap. Kedua jalur tersebut mengarah ke tujuan lonjong yang sama.

Ini bukan hanya tentang titik-titik pada halaman. Ini tentang struktur. Bentuk persegi panjang di mana pun—mulai dari rasio aspek layar bioskop hingga tata letak spreadsheet—bergantung pada pemikiran proporsional seperti ini. Angka lonjong adalah tulang punggung matematika dari proporsi tersebut. Itu adalah tatanan tersembunyi di balik kekacauan bentuk sehari-hari.

Geometri Bilangan Ganjil

Bayangkan gnomon sebagai bentuk L geometris. Ini bukan sekadar coretan acak. Ini mencerminkan sudut kanan persegi tukang kayu. Orang Pythagoras tidak hanya menggunakan bentuk-bentuk ini untuk dekorasi. Mereka memperlakukannya sebagai bahan penyusun.

Perhitungannya ternyata sangat sederhana setelah Anda melihat polanya.

Mulailah dengan kotak kecil. Tambahkan gnomon. Anda mendapatkan kotak yang lebih besar. Angka-angkanya mengikuti ritme yang ketat. Anda dapat membuat kotak dengan menumpuk bentuk-bentuk ini menjadi bentuk-bentuk yang lebih kecil. Hal ini memungkinkan mereka untuk menyimpulkan hubungan timbal balik yang kompleks tanpa aljabar modern.

Perhatikan barisan persegi.

• 1 kuadrat ditambah 3 sama dengan 2 kuadrat
• 2 kuadrat ditambah 5 sama dengan 3 kuadrat
• 3 kuadrat ditambah 7 sama dengan 4 kuadrat

Ini adalah reaksi berantai. Namun ada cara lain untuk melihatnya.

Anda dapat menjumlahkan bilangan ganjil berturut-turut untuk mencapai kuadrat sempurna.

• 1 ditambah 3 sama dengan 3 kuadrat
• 1 ditambah 3 ditambah 5 sama dengan 4 kuadrat
• 1 ditambah 3 ditambah 5 ditambah 7 sama dengan 5 kuadrat
• 1 ditambah 3 ditambah 5 ditambah 7 ditambah 9 sama dengan 6 kuadrat

Daftarnya terus bertambah. Itu elegan. Itu bersih.

Sifat spesifik gnomon dalam matematika Pythagoras ini kemungkinan besar memicu penemuan teorema paling terkenal dalam sejarah. Pythagoras tidak menemukan hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku secara kebetulan. Dia sedang memikirkan bilangan kuadrat.

Dia memperhatikan bahwa menambahkan persegi ganjil ke persegi genap dapat membentuk persegi ketiga. Bukti visualnya ada di sana, dalam bentuk L.

a kuadrat ditambah b kuadrat sama dengan c kuadrat.

Geometri menjelaskan aljabar. Atau lebih tepatnya, geometri adalah aljabar. Mereka tidak memiliki simbol untuk variabel. Mereka punya bentuk. Dan bentuk-bentuk itu bercerita tentang angka.

Mengapa hal itu sangat penting? Karena itu menghubungkan penjumlahan dengan perkalian. Ini menghubungkan garis ke area. Ini mengubah penghitungan abstrak menjadi ruang nyata.

Gnomon adalah kuncinya. Ini membuka pintu untuk memahami bagaimana angka bertambah. Bagaimana mereka cocok satu sama lain. Bagaimana mereka menciptakan struktur dari kekacauan.

Aneh rasanya membayangkan bentuk L yang sederhana memiliki begitu banyak kekuatan. Namun sekali lagi, kesederhanaan sering kali menjadi tempat tersembunyinya kebenaran terdalam.

Perhitungannya menjadi sangat spesifik di sini. Kita sedang melihat kasus di mana $a^2 + b^2 = c^2$, tetapi dengan syarat: $a^2$ sama dengan $b + c$. Ini adalah bagian khusus dari tripel Pythagoras. Bangsa Yunani tidak hanya berhenti pada segitiga siku-siku saja. Mereka terobsesi dengan bentuk. Angka pentagonal. Angka heksagonal. Mereka memetakan pola geometris langsung ke aljabar. Itu bukanlah seni abstrak. Itu adalah aritmatika dengan tepi.

Ini berada di bawah payung angka figuratif yang lebih luas. Bilangan poligonal hanyalah satu himpunan bagian. Daftarnya dimulai dengan barisan aritmatika sederhana, tetapi polanya tetap ada.

Jumlah deret ini tidak menghasilkan perkembangan aritmatika sederhana. Mereka membangun sesuatu yang lebih terstruktur. Anda mendapatkan angka poligonal. Khususnya bilangan segitiga dan persegi. Namun perhitungannya tidak berhenti pada dua dimensi.

Dari Poligon ke Piramida

Tambahkan urutan ini lagi dan Anda naik ke tiga dimensi. Hasilnya berupa angka-angka. Kami menyebutnya bilangan piramidal.

Ini bukan hanya keingintahuan sejarah. Angka-angka ini berhubungan langsung dengan teori bilangan modern. Bahkan sifat dasar bilangan bulat memerlukan alat berat untuk menjelaskannya.

Ambillah aturan ini. Setiap bilangan bulat termasuk dalam salah satu dari tiga kategori. Ini adalah:

1. Bilangan segitiga.
2. Jumlah dua bilangan segitiga.
3. Jumlah tiga bilangan segitiga.

Buktinya elegan namun rumit. Berikut adalah tampilannya dalam praktiknya.

“8 = 1 + 1 + 6”
“42 = 6 + 36”
“43 = 15 + 28”
“44 = 6 + 10 + 28”

Empat sama dengan enam. Tunggu. Tidak. Empat belas sama dengan enam ditambah delapan. Itu adalah dua segitiga. Tapi empat empat membutuhkan tiga. Enam ditambah sepuluh ditambah dua puluh delapan.

Tripel Pythagoras

Pindah dari jumlah ke kuadrat. Teorema Pythagoras membuka pintu yang tidak Anda ketahui keberadaannya. Tripel Pythagoras berasal dari sisi-sisi segitiga siku-siku yang panjangnya bilangan bulat.

Temukan tiga bilangan bulat positif a, b, dan c di mana:

a ² + b ² = c ²

Jika bilangan-bilangan tersebut tidak mempunyai faktor persekutuan, maka bilangan-bilangan tersebut akan membentuk triple Pythagoras primitif. Relatif prima. Itu adalah kendala utama.

Kita membutuhkan cara untuk menghasilkan semuanya. Bukan hanya menemukan satu atau dua. Mereka semua.

Ada rumusnya. Ia berfungsi untuk menghasilkan semua triple Pythagoras primitif.

Jika m dan n adalah bilangan bulat positif dengan m > n, dan m dan n relatif prima, dan yang satu genap sedangkan yang lainnya ganjil, maka:

a = m ² – n ²
b = 2m n
c = m² + n*²

Coba m = 2, n = 1.

a = 4 – 1 = 3
b = 2(2)(1) = 4
c = 4 + 1 = 5

3, 4, 5. Triple klasik.

Coba m = 3, n = 2.

a = 9 – 4 = 5
b = 2(3)(2) = 12
c = 9 + 4 = 13

5, 12, 13.

Tampaknya cukup sederhana sampai Anda mencoba membuktikannya mencakup setiap kasus yang mungkin terjadi tanpa duplikat. Ketentuan pada m dan n sangat ketat. Mereka menyaring himpunan non-primitif. Mereka memastikan status primitif.

Mengapa kita peduli dengan generator? Karena begitu Anda memiliki generator, Anda juga memiliki strukturnya. Anda dapat menelusuri kembali ke tripel mana pun.

Rumus untuk menghasilkan tripel ini bergantung pada pemilihan dua bilangan bulat tertentu, p dan q, dan mengikuti serangkaian aturan yang ketat. Ini bukan hanya tentang memilih dua nomor mana pun. Anda harus berhati-hati.

Aturan pertama adalah p dan q harus relatif prima. Itu berarti mereka tidak mempunyai faktor yang sama selain satu. Aturan kedua bahkan lebih spesifik: keduanya tidak boleh genap, dan keduanya tidak boleh ganjil. Hal ini memaksa yang satu menjadi genap dan yang lainnya menjadi ganjil. Terakhir, Anda harus memilih p lebih besar dari q.

Saat Anda mencapai semua nilai ini, perhitungannya akan tepat.

Mengapa Paritas Penting dalam Generasi Tiga

Syarat ganjil genap ini tidak sembarangan. Jika p dan q sama-sama ganjil, kuadrat yang dihasilkan akan menghasilkan jumlah yang habis dibagi 4, sehingga menghasilkan bilangan tripel yang semua sisinya memiliki faktor 2. Hal ini mematahkan kondisi “primitif”. Hal yang sama juga terjadi jika keduanya genap, karena Anda cukup membagi angka 2 saja.

Dengan memaksakan satu masukan genap dan satu masukan ganjil, Anda memastikan sisi keluaran tidak memiliki pembagi yang sama. Hasilnya adalah triple Pythagoras primitif.

Contoh Tiga Kali Lipat yang Dihasilkan

Memilih p dan q dengan tepat akan menghasilkan himpunan klasik. Misalnya, jika Anda memilih p = 2 dan q = 1:

• Sisi pertama menjadi $p^2 – q^2 = 3$
• Sisi kedua menjadi $2pq = 4$
• Sisi miringnya menjadi $p^2 + q^2 = 5$

Anda mendapatkan segitiga 3-4-5. Itu yang paling mendasar. Semua orang mengetahuinya. Tapi ini berhasil karena 2 dan 1 adalah koprima dan paritas campuran.

Coba p = 3 dan q = 2.

• Sisi A: $9 – 4 = 5$
• Sisi B: $2(3)(2) = 12$
• Sisi Miring: $9 + 4 = 13$

Itu memberi Anda 5-12-13. Himpunan primitif lainnya.

Polanya bertahan. Anda hanya perlu menemukan pasangan koprima dengan paritas campuran dan melihat geometrinya terungkap.

Anda mungkin mengira tripel Pythagoras primitif tersebar secara acak di seluruh garis bilangan, padahal sebenarnya tidak. Hanya ada satu contoh di mana Anda mendapatkan tiga bilangan bulat berurutan yang membentuk tripel tersebut. Ini klasik 3, 4, 5. Itu saja.

Setelah Anda melewati satu anomali itu, aturannya menjadi menarik. Bahkan dalam triple primitif standar di mana a dan b adalah kakinya dan c adalah sisi miringnya, batasan aritmatika modular tertentu selalu berlaku. Anda dapat mengandalkannya.

Dapat dibagi 3, 4, dan 5

Salah satu kaki, baik a atau b, akan selalu habis dibagi 3. Kaki lainnya akan selalu habis dibagi 4. Dan jika dilihat ketiga sisinya, salah satunya pasti habis dibagi 5. Ini bukan sekadar kebetulan untuk bilangan kecil. Ini adalah aturan struktural.

Oleh karena itu, hasil kali ketiga sisi (abc ) selalu habis dibagi 60. Ini adalah pola yang bersih dan dapat diprediksi dalam bidang yang sering kali terasa kacau.

Nomor 7

Lalu ada 7. Ini sedikit lebih rumit. Salah satu besaran berikut harus habis dibagi 7:
* a
* b
* a + b
* a – b

Tidak selalu sisinya sendiri. Terkadang itu adalah jumlah atau perbedaannya. Tapi 7 selalu muncul dalam salah satu bentuk tersebut.

Ada juga rumus yang menghasilkan tripel Pythagoras yang valid untuk bilangan bulat apa pun n. Jika Anda memasukkan nomor, Anda mendapatkan:
1. 2n + 1
2. 2n ² + 2n
3. 2n ² + 2n + 1

Ini selalu membentuk segitiga siku-siku. Ini adalah cara yang dapat diandalkan untuk menghasilkan tiga kali lipat tanpa menghafal daftar.

Kendala Yunani Kuno

Orang-orang Yunani mengetahui hal ini jauh sebelum kita memiliki kalkulator. Mereka tahu sisi miring dari tripel primitif selalu merupakan bilangan bulat ganjil. Mereka tidak memiliki bukti modern yang lengkap, namun mereka memiliki intuisi.

Hari ini, kami memiliki kondisi yang tepat. Bilangan bulat ganjil R berfungsi sebagai sisi miring dari tripel primitif jika dan hanya jika setiap faktor prima dari R berbentuk 4k + 1. Hal ini membatasi bilangan ganjil mana yang dapat muncul pada posisi tersebut. Ini menghilangkan setengah peluang yang ada.

Bilangan Sempurna dan Bilangan Prima Mersenne

Kebanyakan bilangan bulat berlimpah atau kekurangan. Perbedaannya sederhana. Suatu bilangan melimpah mempunyai pembagi tersendiri (tidak termasuk bilangan itu sendiri) yang jumlahnya lebih besar dari bilangan tersebut. Jumlah pembagi wajar suatu bilangan yang kurang adalah lebih kecil.

Angka sempurna berada tepat di tengah. Itu sama dengan jumlah pembaginya.

Ambil 24. Pembaginya (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12) berjumlah 36. Berlimpah.
Ambil 32. Jumlah pembaginya adalah 31. Itu kekurangan.

Maka Anda memiliki 6. 1 + 2 + 3 = 6. Sempurna.
Maka 28. 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Sempurna juga.

Dua berikutnya adalah 496 dan 8.128. Orang dahulu mengetahui empat yang pertama. Mereka tidak tahu apakah daftar tersebut akan bertahan selamanya, atau apakah daftar berikutnya akan berjumlah satu juta digit.

Euclid dan Euler

Euclid menebak. Ia menyatakan bahwa bilangan-bilangan berbentuk 2n -1(2n -1) adalah bilangan sempurna, asalkan 2n -1 adalah bilangan prima. Dia benar tentang generasi ini, tetapi dia tidak membuktikan bahwa itu adalah satu-satunya cara.

Bukti itu muncul belakangan. Pada abad ke-18, Leonhard Euler menunjukkan bahwa setiap bilangan sempurna genap harus sesuai dengan rumus Euclid. Jadi jika Anda mencari bilangan genap sempurna, Anda hanya perlu melihat bilangan prima Mersenne.

Nomor Mersenne adalah bilangan apa pun dalam bentuk 2n -1, yang diambil dari nama Marin Mersenne. Ini bisa berupa prima atau komposit. Agar 2n -1 menjadi bilangan prima, n itu sendiri harus bilangan prima. Ini adalah kondisi yang perlu, meski tidak cukup. Hanya karena n bilangan prima bukan berarti 2n -1 bilangan prima. Tetapi jika 2n -1 bilangan prima, n harus bilangan prima.

Hal ini menciptakan korespondensi satu-ke-satu. Setiap bilangan prima Mersenne menghasilkan bilangan sempurna genap. Setiap bilangan sempurna genap berasal dari bilangan prima Mersenne.

Menemukan Raksasa

Sampai zaman komputer, menemukan ini adalah pekerjaan manual. Hanya 12 bilangan sempurna yang diketahui sejak lama. Kemudian Édouard Lucas memberi kami tes primalitas untuk bilangan Mersenne pada tahun 1876.

Raphael M. Robinson mengikuti tes itu dan menjalankannya pada komputer digital elektronik awal. Pada tahun 1952, dia telah menemukan bilangan prima Mersenne untuk nilai n 521, 607,

Masalah Kelinci yang Memulai Semuanya

Sangat mudah untuk melupakan bahwa Deret Fibonacci tidak dimulai di kelas ilmu komputer. Ini dimulai dengan sebuah buku. Pada tahun 1202, Leonardo dari Pisa—lebih dikenal dengan julukannya, Fibonacci—menerbitkan Liber abaci. Ini bukan sekadar panduan matematika kering. Hal ini merupakan terobosan baru bagi perdagangan Eropa, dengan memperkenalkan angka Hindu-Arab ke benua yang masih menggunakan angka Romawi. Namun di balik teks keuangan yang serius itu terdapat teka-teki kecil yang konyol tentang beternak kelinci.

Pertanyaannya cukup sederhana untuk dijelaskan saat makan malam. Bayangkan Anda memulai dengan sepasang kelinci. Setiap bulan, pasangan tersebut menghasilkan pasangan baru. Inilah masalahnya: bayi yang baru lahir tidak mulai berkembang biak sampai mereka berusia dua bulan. Jadi, di bulan pertama, Anda punya satu pasang. Yang kedua, Anda memiliki pasangan asli ditambah bayinya. Pada bayi ketiga, pasangan asli mempunyai anak lagi, dan bayi pertama kini sudah cukup dewasa untuk memiliki anak sendiri.

Lakukan perhitungan. Itu tidak sulit. Anda mendapatkan rangkaian angka tertentu yang terus bermunculan di alam, kode, dan seni.

Bagaimana Urutannya Terungkap

Mari kita lihat perkembangannya. Ini bersifat rekursif, yaitu cara yang bagus untuk mengatakan bahwa setiap angka adalah jumlah dari dua angka sebelumnya.

• Bulan 1: 1 pasang (asli)
• Bulan 2: 2 pasang (asli ditambah keturunan pertama)
• Bulan 3: 3 pasang (asli, keturunan pertama, keturunan kedua)
• Bulan 4: 5 pasang

Urutannya adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, dan seterusnya. Itu bersih. Itu logis. Dan itu ada di mana-mana setelah Anda tahu di mana mencarinya.

Sifat Tak Terbatas dari Bilangan Fibonacci

Baris kedua itu? Ini adalah aksi pembuka dari deret yang sekarang kita sebut deret Fibonacci. Setiap angka setelah dua angka pertama hanyalah jumlah dari dua angka sebelumnya. Matematika sederhana. x _n = x _n−1 + x _n−2. Namun tidak ada yang tahu bahwa aturan ini adalah kuncinya sampai sekitar tahun 1600.

Ledakan minat yang sesungguhnya terjadi kemudian. Khususnya pada dekade pertengahan abad ke-20. Para peneliti menggali sifat-sifat angka-angka ini dengan semangat yang menghasilkan banyak sekali literatur. Dan rasanya sumur itu tidak berdasar. Identitas terus bermunculan. Ambil contoh ini: x _n+1 · x _n−1 = x _n ² + (−1)ⁿ. Itu elegan. Itu gigih.

Lalu ada Édouard Lucas. Dia punya rumusnya sendiri untuk menghasilkan angka-angka yang sama. Sudut berbeda pada teka-teki tak terbatas yang sama.

Matematika di Balik Rasio Ajaib

Ini dimulai dengan angka yang menolak untuk menjadi sederhana. Rasio emas, Phi (Φ), kira-kira 1,618. Kebalikannya adalah 0,618. Keduanya berasal dari akar x ² − x − 1 = 0. Persamaan ini ditelusuri kembali ke Luca Pacioli. Seorang matematikawan Italia abad ke-15. Dia menyebutnya Proporsi Ilahi. Rumusnya adalah a /b = b /(a + b ). Ketika a lebih kecil dari b. Setel x ke b /a dan Anda sampai di sana.

Ini tentang membagi sebuah garis. Pisahkan sehingga bagian yang lebih kecil berhubungan dengan bagian yang lebih besar, persis seperti bagian yang lebih besar berhubungan dengan keseluruhan. Para desainer kuno mengetahui hal ini. Arsitek modern juga menggunakannya. Persegi panjang dengan perbandingan sisi 3:5 terasa pas. Atau 8:5. Secara estetika menyenangkan. Paling menyenangkan, kata beberapa orang.

Kekuatan Phi

Naikkan Phi ke kekuatan berturut-turut. Urutannya terungkap. Ini dimulai dengan angka-angka tertentu yang mencerminkan rasio itu sendiri.

Anda mungkin tidak mengharapkan referensi budaya pop ketika melihat radikal, tapi ada pola tersembunyi di akar kuadrat dari lima. Ini bukan sihir. Itu hanya matematika yang menjadi matematika.

Koefisien dalam deret ini adalah bilangan Fibonacci yang terkenal. Anda kenal mereka. Satu, satu, dua, tiga, lima, delapan. Mereka meluncur seperti detak jantung.

Perhatikan lebih dekat tanda kurung. Suku kedua mengikuti ritme yang berbeda. Urutan Lucas. Dimulai dengan satu, tiga. Lalu empat, tujuh, sebelas, delapan belas. Rasanya familiar. Dia.

Deret Lucas memiliki detak rekursif yang sama dengan Fibonacci. Setiap angka adalah jumlah dari dua angka sebelumnya. Rumusnya sederhana. $x_n = x_{n-1} + x_{n-2}$.

Ini adalah trik yang bagus. Telur Paskah matematika untuk siapa saja yang menyukai pola. Lain kali Anda melihat √5, pikirkan angka-angka yang tersembunyi di dalam desimal. Mereka ada di sana, menunggu untuk dihitung.

Mulailah dengan persegi panjang emas berlabel ABCD. Potong kotak bernama ABEF. Apa yang tersisa? ECDF persegi panjang. Itu adalah persegi panjang emas lainnya. Proporsi yang sama. Ukuran berbeda. Jika Anda terus melakukan ini, kotaknya akan semakin kecil. Sudut-sudutnya sejajar. Gambarlah busur lingkaran melaluinya. Hasilnya bukanlah lingkaran sempurna. Ini adalah spiral logaritmik.

Alam menyukai bentuk ini. Anda melihatnya di cangkang nautilus. Anda melihatnya dalam badai. Matematika di baliknya bersih. Persamaan r = k Θ mengatur kurva ini dalam koordinat kutub. Konstanta k didefinisikan sebagai Φ²/π. Phi kuadrat dibagi pi. Ini adalah hubungan yang tepat antara pertumbuhan dan sudut.

Namun geometri tidak hanya di atas kertas. Itu di taman. Angka Fibonacci menjelaskan filotaksis. Itu istilah keren untuk cara tumbuhan mengatur bagian-bagiannya. Lihatlah biji pinus. Hitung lingkarannya. Lihatlah nanas. Spiral berpotongan dalam angka Fibonacci. Kepala bunga matahari? Hal yang sama. Kelopaknya tidak tumbuh sembarangan. Mereka mengikuti suatu urutan.

Mengapa Tumbuhan Mengikuti Aturan Fibonacci

Ini bukanlah suatu kebetulan. Ini efisiensi. Urutan fraksi spesifik yang disebutkan sebelumnya membantu benih berkemas dengan rapat. Ini memastikan paparan cahaya maksimum. Cabang pada beberapa batang mengikuti logika yang sama. Mereka menghindari naungan satu sama lain. Pabrik mengoptimalkan strukturnya.

Spiral yang terlihat pada Gambar 4 mendekati pertumbuhan alami tersebut. Ini hanya perkiraan karena alam itu berantakan. Biologi tidak mengikuti garis. Ini mengikuti tren. Rasio emas tampak pada jarak daun. Hal itu terlihat pada susunan bijinya. Ini adalah pola yang berulang pada seluruh spesies.

Beberapa orang mungkin berpendapat itu hanya daya tarik visual. Tapi perhitungannya bertahan. Spiral logaritmik memungkinkan terjadinya pemuaian tanpa mengubah bentuk. Sebuah daun tumbuh. Itu tidak mendistorsi. Itu berskala. Deret Fibonacci memberikan langkah bilangan bulat untuk penskalaan ini. Ini adalah pertumbuhan tersendiri dalam dunia yang berkesinambungan.

Hubungan Antara Matematika dan Biologi

Bagaimana benih bisa tumbuh secara spiral? Tidak. Fisika pembelahan sel mendukung sudut-sudut ini. Sudut divergensi mendekati sudut emas. Hal ini meminimalkan tumpang tindih. Ini memaksimalkan ruang. Hasilnya tampak seperti spiral Fibonacci. Itu adalah satu.

Anda tidak memerlukan gelar di bidang botani untuk menemukannya. Lihat saja nanas berikutnya yang Anda beli. Atau bunga matahari berikutnya. Angka-angkanya ada di sana. Tertanam dalam struktur. Persegi panjang emas hanyalah abstraksi geometris. Tumbuhan adalah realitas fisik. Mereka adalah dua sisi dari mata uang yang sama. Yang digambar dengan kompas. Satu tumbuh di dalam tanah. Keduanya mengikuti aturan dasar yang sama.

Ilusi optik bukan sekadar trik di ruang tamu. Itu adalah teka-teki matematika yang disamarkan sebagai gangguan visual. Matematika di baliknya sering kali bergantung pada prinsip geometri dasar. Khususnya, proporsionalitas antara luas bangun-bangun yang sebangun dan kuadrat dimensi liniernya. Tapi itu tidak semuanya persamaan. Ada lapisan fisiologis di sini. Otak Anda merasakan panjang relatif lebih akurat daripada luas relatif. Kesenjangan persepsi itulah yang menjadi tempat ilusi hidup.

Kita berbicara tentang perspektif yang tidak lazim. Sudut terdistorsi. Bayangan yang menipu. Saat Anda menyandingkan warna dengan cara yang tidak biasa, Anda memicu penyimpangan kromatik. Gambar setelahnya menyusul. Untuk mempelajari lebih dalam mekanisme ini, Anda akan mencari entri tentang ilusi dan halusinasi. Namun geometri menjadi lebih aneh ketika Anda berhenti melihat gambar statis dan mulai melihat jebakan logis.

Geometri Kebohongan

Ada “bukti” terkenal dalam geometri yang mengklaim menunjukkan absurditas. Itu adalah kekeliruan. Dan mereka menggoda karena mengikuti struktur logis, hanya dengan kesalahan fatal.

Ambillah pernyataan bahwa setiap segitiga adalah sama kaki. Kedengarannya salah. Itu salah. Namun, beberapa “bukti” meyakinkan Anda sebaliknya. Lalu ada pernyataan bahwa setiap sudut adalah sudut siku-siku. Atau gagasan bahwa jika Anda memiliki segiempat ABCD yang sisi AB sama dengan sisi CD, maka AD harus sejajar dengan BC. Itu salah. Anda dapat membuat bentuk yang sesuai dengan deskripsi tanpa menjadi jajar genjang. Yang paling keterlaluan adalah klaim bahwa setiap titik di bagian dalam lingkaran terletak pada lingkaran itu sendiri.

Bagaimana cara kerja kekeliruan ini? Mereka tidak menggunakan sihir. Mereka menggunakan kesalahan halus.

Penjelasan atas bukti-bukti palsu ini biasanya bermuara pada beberapa trik yang berulang. Pertama, ada konstruksi yang salah. Diagram digambar agak melenceng, menyembunyikan kontradiksinya. Kedua, ini merupakan pelanggaran prinsip logika. Hal yang umum adalah mengasumsikan kebenaran dari kebalikannya. Jika A menyiratkan B, bukan berarti B menyiratkan A. Pembalikan atau kebalikan parsial yang membingungkan adalah jebakan klasik.

Terkadang, ini adalah salah tafsir terhadap suatu definisi. Pembuktiannya mengabaikan syarat “perlu dan cukup”. Dibutuhkan suatu kondisi yang diperlukan tetapi tidak cukup untuk membuktikan keseluruhan pernyataan. Lalu ada elemen manusia. Terlalu bergantung pada diagram dan intuisi. Kami memercayai logika kami. Kita terjebak dengan membatasi proses dan penampilan yang menipu. Otak melihat apa yang diharapkan untuk dilihat.

Ketika Bentuk Tidak Memiliki Jalan Keluar

Hal ini mengarah langsung pada angka-angka yang mustahil. Ini bukan hanya trik optik yang mempersilakan garis. Mereka adalah struktur yang tidak bisa ada dalam ruang tiga dimensi.

Bayangkan segitiga Penrose. Tiga batang membentuk segitiga. Setiap sudut tampak seperti sambungan standar 90 derajat. Satukan keduanya, dan mereka berputar. Otak Anda mencoba menyelesaikan isyarat kedalaman. Ini menetapkan bagian depan dan belakang untuk setiap tepi. Tapi ujung-ujungnya tidak menyambung. Gambar tersebut menuntut topologi yang melanggar aturan geometri Euclidean.

Rekreasi ini adalah mimpi buruk topologi. Mereka memaksa mata untuk mengikuti garis kontinu yang, jika ditelusuri dalam ruang nyata, harus melewati garis itu sendiri atau membengkok sedemikian rupa sehingga tidak dapat dibatasi secara fisik. Seniman dan ahli matematika menggunakannya untuk menyoroti batas interpretasi persepsi. Mereka menunjukkan bahwa otak Anda adalah mesin prediksi, bukan kamera. Itu mengisi

Jebakan Geometri yang Mustahil

Lihatlah Gambar 5. Otak Anda ingin menerimanya. Ia melihat objek 3D yang masuk akal. Padat. Nyata. Tapi bersandarlah lebih dekat dan ilusi itu hancur. Gambar-gambar ini berbohong. Mereka dibangun di atas perspektif yang salah, penjajaran yang aneh, atau trik psikologis yang jujur. Anda tidak dapat membangunnya. Mereka tidak ada di luar angkasa.

Ini adalah angka-angka yang tidak dapat ditentukan.

Oscar Reutersvard tidak hanya mencoba-coba paradoks visual. Dia menjadikan mereka miliknya. Seniman asal Swedia ini mengubah bentuk-bentuk mustahil ini menjadi acara utama pada serangkaian prangko. Saat itu masih pagi. Itu sangat berani. Dan terbukti bahwa prangko bisa menjadi pintu gerbang menuju geometri yang tidak dapat berfungsi.

Tangga Tak Terbatas dan Logika Paradoks

Ini dimulai pada tahun 1958. L.S. Penrose, seorang ahli genetika Inggris, dan putranya Roger Penrose, seorang ahli fisika matematika, memperkenalkan dunia pada lingkaran aneh. Itu bukan hanya trik visual. Itu adalah angka-angka yang tidak dapat ditentukan.

Ambil tangga persegi Penrose. Anda bisa berjalan ke arah mana pun selamanya. Anda tidak pernah menjadi lebih tinggi. Anda tidak pernah menjadi lebih rendah. Ini adalah siklus tanpa akhir. M.C. Escher mengambil konsep ini dan menjalankannya. Litografnya tahun 1960 Ascending and Descending menampilkan para biksu yang berjalan di jalan yang mustahil ini. Air Terjun (1961) menunjukkan air yang melawan gravitasi, berputar kembali ke dirinya sendiri. Ini bukan hanya seni. Itu adalah bukti visual dari paradoks logis.

Lingkaran aneh bersentuhan hingga tak terhingga. Mereka mencerminkan pernyataan referensial seperti Epimenides. Filsuf tersebut menyatakan bahwa semua orang Kreta adalah pembohong. Jika dia benar, dia berbohong. Jika dia berbohong, dia benar. Lingkaran itu ditutup. Logikanya rusak.

Ketika Kurva Melanggar Aturan

Matematika punya versinya sendiri tentang kegilaan ini. Kurva patologis.

Kurva kontinu standar berperilaku. Ini memiliki garis singgung. Ini telah menentukan kelengkungan. Kurva patologis tidak. Mereka tidak memiliki sifat dasar. Garis singgungnya mungkin tidak terdefinisi di setiap titik. Anda dapat melacaknya. Anda dapat mengukur area yang dilingkupinya. Area itu terbatas. Panjangnya? Tak terbatas.

Ini bukanlah ilusi optik. Mereka adalah objek matematika yang nyata. Mereka muncul sebagai batas rangkaian konstruksi geometris. Jumlahnya menyatu. Bentuknya kurang pas. Panjangnya mendekati batas. Area tersebut mendekati area lain. Tapi objeknya sendiri? Ini adalah sebuah paradoks.

“Keistimewaan mereka merupakan paradoks, bukan ilusi optik atau kekeliruan.”

Di sinilah matematika berhenti menjadi intuitif. Anda menggambar garis. Itu menjadi sangat bergerigi. Itu tetap di dalam kotak kecil. Tidak ada kemiringan di mana pun. Itu adalah kurva yang menolak menjadi kurva.

Kita melihat ini dalam langkah-langkah Penrose. Kami melihatnya di penjara Escher. Kita melihatnya dalam matematika yang mendasarinya. Panjang tak terbatas dalam ruang terbatas. Arah yang tidak membawa kemana-mana. Itu bukanlah sebuah kesalahan. Itu sebuah fitur.

Pertanyaannya bukanlah bagaimana cara memperbaikinya. Itulah yang terjadi ketika Anda menerima perulangan. Apakah kamu terus berjalan? Apakah Anda berhenti berusaha menemukan akhir?

Kurva terus berlanjut.

Geometri Keliling Tak Terbatas dan Ruang Terbatas

Ambil kepingan salju Koch. Mulailah dengan segitiga sama sisi sederhana. Bagilah setiap sisi menjadi tiga. Gantikan sepertiga bagian tengah tersebut dengan dua sisi segitiga sama sisi yang lebih kecil dan mengarah ke luar. Lakukan lagi. Dan lagi. Proses ini berulang tanpa batas. Dua langkah pertama terlihat pada Gambar 7, menunjukkan bagaimana bentuknya menjadi lebih bergelombang, lebih tajam, dan lebih kompleks pada setiap iterasi.

Inilah twistnya. Perimeter tumbuh tanpa batas. Ini berjalan hingga tak terhingga. Namun wilayah yang dilingkupinya tetap terbatas. Itu mendekati batas atas tertentu. Batas atasnya tepat 8/5 luas segitiga asal.

Pikirkan tentang itu. Anda memiliki batas yang sangat panjang yang membungkus ruang yang terbatas. Ini bertentangan dengan intuisi bahwa garis yang lebih panjang berarti lebih banyak area. Kurva Koch membuktikan bahwa mereka salah.

Mengisi ruang dengan garis yang tidak pas

Ini menentang geometri dasar. Kurva adalah satu dimensi. Ia memiliki panjang tetapi tidak memiliki lebar. Seharusnya tidak dapat mencakup area dua dimensi. Namun konstruksi pada Gambar 8 membuktikan sebaliknya. Jika Anda terus melalui tahapannya. Hasil akhirnya mengenai setiap titik di kotak.

Ini bukan tipuan. Perhitungannya bertahan. Kurva tersebut menjadi pengisi ruang.

Dari kotak menjadi kubus

Anda dapat memperluas logika ini lebih jauh. Ini tidak terbatas pada permukaan datar. Dengan menerapkan alasan yang sama. Kurva tersebut dapat mengisi seluruh kubus. Tiga dimensi. Satu garis yang berkesinambungan. Kedengarannya mustahil sampai Anda melihat matematika berhasil.

Kurva Sierpinski sungguh aneh. Ini dimulai sebagai sebuah kotak sederhana, tetapi jika Anda mendorong proses konstruksinya cukup jauh, itu menjadi sesuatu yang sama sekali berbeda. Ini berisi setiap titik di dalam kotak itu. Ini membentuk lingkaran tertutup.

Inilah hasil tangkapannya. Terus berlanjut. Tanpa batas waktu.

Panjang kurvanya mengarah ke tak terhingga. Itu tidak pernah berhenti tumbuh. Namun, wilayah yang dilingkupinya berada tepat di lima per dua belas dari total luas alun-alun. Ini adalah paradoks geometri.

“Karena proses pembentukan kurva dilanjutkan tanpa batas waktu, panjang kurva mendekati tak terhingga, sedangkan luas yang dilingkupinya mendekati 5/12 luas persegi.”

Lalu ada kurva fraktal. Definisi yang longgar berfungsi dengan baik di sini. Ini adalah bentuk yang mempertahankan pola tidak beraturan tidak peduli seberapa besar Anda memperbesarnya. Bayangkan kepingan salju von Koch. Itu adalah contoh klasiknya.

Perhatikan apa yang terjadi pada setiap tahap pembangunannya. Perimeternya tidak hanya bertambah besar. Tumbuh dengan rasio tertentu. Empat lawan tiga.

Benoit Mandelbrot mengubah permainan pada tahun 1950an. Dia tidak menyukai gagasan lama tentang dimensi. Dia menginginkan simbol baru. D.

Dia memperlakukan dimensi sebagai kekuatan. Berapa pangkat yang kamu naikkan 3 sehingga sama dengan 4? Itulah pertanyaannya. Jawabannya bukanlah bilangan bulat. Itu log 4 dibagi log 3. Kira-kira 1,26.

Itulah dimensi kepingan salju. Ini bukan sebuah garis. Ini bukan pesawat. Itu terletak di antara keduanya.

Mandelbrot dan rekan-rekannya mulai mengamati kurva “patologis” ini. Mereka terobsesi dengan kesamaan diri. Tapi mereka tidak hanya menatap matematika. Mereka memandang dunia.

Fluktuasi acak di alam menciptakan kesamaan diri secara statistik. Teknik Mandelbrot membantu memecahkan kode ini. Ia bekerja untuk mekanika fluida. Geomorfologi. Fisiologi manusia. Ekonomi. Ilmu bahasa.

Ambil contoh gerakan Brown. Lihatlah permukaan mikroskopis. Lihat jaringan pembuluh darah di tubuh Anda. Periksa bentuk molekul polimer.

Semua ini adalah fraktal. Mereka berbagi tekstur kasar dan berulang yang sama.

Labirin

Memecahkan yang tidak terpecahkan

Letakkan tangan Anda di dinding. Simpan di sana. Jika sebuah labirin hanya memiliki satu pintu masuk dan satu pintu keluar, aturan sederhana ini menjamin Anda akan menemukan jalan keluarnya. Ini mungkin bukan rute tercepat. Anda bisa mengambil jalan memutar. Tapi Anda akan sampai di sana.

Bagaimana jika tujuannya terletak di dalam labirin? Trik praktis yang sama juga berhasil. Ada satu tangkapan. Tidak ada sirkuit tertutup. Jika labirin berisi sebuah loop—rute yang berputar kembali ke awal—metode tersebut gagal. Anda hanya akan berputar-putar.

Matematikawan menyebut labirin tanpa putaran sebagai “terhubung sederhana”. Jika mempunyai loop, berarti “tersambung berkali-kali”. Untuk menavigasi struktur kompleks ini, Anda memerlukan rencana yang lebih baik.

Tetapkan setiap persimpangan sebagai simpul. Beri label jalur sebagai “baru” atau “lama”. Inilah cara Anda menelusuri labirin tanpa tersesat:

• Jangan pernah berjalan di jalur lebih dari dua kali.
• Mencapai simpul baru? Pilih arah.
• Mencapai simpul lama atau jalan buntu melalui jalur baru? Berbalik dan kembali ke tempat Anda datang.
• Mencapai node lama melalui jalur lama? Coba jalan baru. Jika tidak ada, ambil yang lama lagi.

Orang-orang tidak lagi bermain-main dengan labirin kertas seperti dulu. Sensasinya telah memudar. Namun dua bidang modern masih mengandalkannya. Psikologi menggunakannya untuk mempelajari perilaku belajar. Teknologi komunikasi menggunakannya untuk meningkatkan desain komputer.

Memotong bentuk menjadi beberapa bagian

Diseksi geometris berbeda. Mereka melibatkan pemotongan gambar menjadi beberapa bagian yang dapat diatur ulang. Ambil persegi panjang. Potong itu. Pasang kembali potongan-potongan itu menjadi persegi. Lakukan juga sebaliknya.

Ketertarikan terhadap teka-teki matematika ini dimulai menjelang akhir abad ke-18. Montucla menyoroti masalahnya. Seiring semakin populernya, fokusnya pun bergeser. Ini bukan hanya tentang persegi panjang dan persegi lagi. Itu tentang poligon apa pun. Bagaimana cara membedah suatu bangun datar dengan n sisi menjadi bangun lain dengan luas yang sama?

Pada awal abad ke-20, pertanyaannya berubah lagi. Tidaklah cukup hanya melakukannya. Anda harus menemukan jumlah minimum potongan yang diperlukan. Efisiensi itu penting.

Sebuah teori komprehensif muncul sekitar tahun 1960. Teori ini mendefinisikan angka-angka yang “dapat dikomposisi secara seimbang”. Dua poligon dapat dikomposisi secara sama jika Anda dapat memotong salah satu poligon menjadi beberapa bagian dan menyusunnya ulang untuk membentuk yang lain. Mereka harus mempunyai luas yang sama. Jelas sekali.

Teorema kebalikannya bahkan lebih kuat lagi. Jika dua poligon mempunyai luas yang sama, keduanya dapat dikomposisi secara sama. Periode.

Ada juga metode saling melengkapi. Tambahkan bagian yang kongruen pada dua gambar. Buatlah angka-angka baru tersebut kongruen. Ini adalah “yang dapat saling melengkapi.” Mereka juga mempunyai luas yang sama.

Teorinya berkembang. Para peneliti mengeksplorasi bagaimana keseimbangan keseimbangan berhubungan dengan gerak. Terjemahan. Simetri pusat. Kelompok gerak secara umum. Studi tersebut akhirnya mencapai polihedra. Bentuk 3D. Pertanyaan yang jauh lebih sulit. Masih dijawab.

Mekanisme Salib Yunani

Penerapan praktis menuntut lebih dari sekedar teori. Mengubah salib Yunani menjadi persegi bukanlah hal yang mudah. Anda memerlukan prosedur cerdik untuk membuatnya berhasil. Geometri menjadi rumit dengan cepat.

H. Lindgren mendokumentasikan beberapa metode khusus ini. Karyanya adalah referensi bagi siapa pun yang benar-benar mencoba memecahkan teka-teki ini. Anda dapat menemukan rinciannya di Daftar Pustaka. Ini bukan tentang menebak. Ini tentang mengikuti langkah-langkah yang benar-benar sejalan.

Mengkuadratkan Kotak: Teka-teki Geometris Terpecahkan

Lupakan buku pelajaran yang berdebu. Gagasan bahwa Anda tidak dapat membagi sebuah kotak menjadi kotak-kotak yang lebih kecil dan tidak identik pernah menjadi mitos yang membandel. Itu bukan karena kurangnya usaha. Para matematikawan menatap halaman kosong itu selama beberapa dekade. Solusinya tidak datang dari kompas dan penggaris. Itu berasal dari teori jaringan.

Ini adalah persegi panjang persegi. Sebuah persegi panjang dibedah menjadi sejumlah persegi yang terbatas. Jika tidak ada kotak yang berukuran sama, maka itu sempurna. Perintahnya? Hitung saja jumlah kotaknya.

Inilah yang menarik. Tidak ada persegi panjang sempurna yang jumlah perseginya kurang dari sembilan. Nol. Tidak satu pun. Tapi di pesanan sembilan? Tepatnya ada dua. Salah satunya ditunjukkan pada Gambar 12. Pembedahan persegi menjadi persegi yang tidak sama, yang dianggap mustahil sejak tahun 1907, pertama kali dilaporkan pada tahun 1939.

Ini bukan sihir. Itu topologi.

Bagaimana Grafik Memecahkan Teka-teki Geometris

Grafik kata membuat orang tersandung. Anda membayangkan diagram garis. Sebuah ticker saham. Kurva geometri analitik. Salah. Atau setidaknya, tidak lengkap.

Dalam teka-teki, grafik lebih sederhana. Titik dan garis yang menghubungkannya. Grafik linier. Sedikit lagi. Namun, struktur sederhana ini memecahkan masalah yang membingungkan para ahli geometri selama lebih dari tiga puluh tahun.

Mengapa ini penting? Karena ini menunjukkan bagaimana jaringan abstrak dipetakan ke ruang fisik. Anda mengambil persegi panjang. Anda memaksa kotak ke dalamnya. Anda melacak koneksinya. Grafik mengungkapkan simetri tersembunyi.

Ini bukan hanya tentang bentuk yang cantik. Ini tentang logika. Logika yang murni dan tidak tercemar.

“Pembedahan persegi menjadi persegi yang tidak sama, yang dianggap mustahil sejak tahun 1907, pertama kali dilaporkan pada tahun 1939.”

Tiga dekade jalan buntu. Lalu, sebuah terobosan. Bukan karena seseorang menjadi lebih pintar. Tetapi karena mereka berhenti melihat kotak-kotak itu dan mulai melihat garis-garis di antara kotak-kotak itu.

Grafik tidak mempedulikan sudut. Ia peduli dengan koneksi. Itulah rahasianya.

Dasar-Dasar Teori Grafik: Dari Grafik Lengkap hingga Puzzle Planar

Himpunan titik-titik berhingga yang dihubungkan oleh garis-garis membentuk suatu grafik. Titik-titik tersebut adalah simpul. Garis yang menghubungkannya adalah tepi. Ketika setiap simpul terhubung ke setiap simpul lainnya, Anda mendapatkan grafik lengkap. Namun tidak semua grafik sesederhana itu.

Pertimbangkan grafik planar. Ini adalah bangun datar yang sisi-sisinya tidak bersilangan satu sama lain, kecuali pada simpulnya sendiri. Garisnya tidak harus lurus. Anda bisa melengkungkannya. Fleksibilitas ini memungkinkan grafik nonplanar digambar ulang menjadi grafik planar isomorfik, seperti yang terlihat pada ilustrasi geometris standar.

Tepi suatu grafik tidak harus berupa garis lurus. Perbedaan ini penting. Artinya, diagram yang berantakan dan banyak bersilangan mungkin sebenarnya berbentuk planar jika Anda hanya memisahkan garis-garisnya.

Masalah Tiga Sumur dan Wawasan Jordan

Ini teka-teki klasik. Masalah “tiga sumur”. Tiga rumah. Tiga sumur. Anda membutuhkan jalan dari setiap rumah ke setiap sumur. Total sembilan jalur. Aturannya? Tidak ada jalan yang bisa melintasi jalan lain. Itu tidak mungkin.

Pembuktiannya bergantung pada Teorema Kurva Jordan. Kurva kontinu tertutup membagi bidang menjadi interior dan eksterior. Setiap garis yang menghubungkan suatu titik di dalam dengan titik di luar harus memotong kurva tersebut. Realitas topologi ini memecahkan teka-teki tiga sumur.

Grafik planar tidak hanya untuk teka-teki. Mereka berguna dalam merancang jaringan listrik. Papan sirkuit sering kali mengandalkan prinsip planar untuk menghindari korsleting dan mengelola konektivitas.

Grafik dan Jalur Terhubung

Grafik terhubung sangatlah mudah. Setiap simpul terhubung ke setiap simpul lainnya melalui busur. Busur hanyalah rangkaian sisi yang tidak terputus.

Ada juga jalan. Sebuah lintasan melintasi grafik tanpa melewati sisi yang sama sebanyak dua kali. Anda dapat mengunjungi suatu titik beberapa kali. Hanya saja, jangan menggunakan kembali bagian tepinya. Ini adalah jenis traversal tertentu.

Akar teori grafik modern berasal dari teka-teki abad ke-18 yang tampaknya cukup sederhana untuk dipecahkan oleh orang biasa, namun ternyata memiliki kedalaman matematis yang mendalam. Ini dimulai dengan Leonhard Euler dan masalah jembatan Königsberg yang terkenal. Selama beberapa dekade setelahnya, jalur tersebut didominasi oleh jenis rute tertentu yang dikenal sebagai jalur Euler. Ini adalah gambar yang dapat Anda gambar tanpa mengangkat pensil atau menelusuri garis apa pun.

Latarnya adalah kota Königsberg, yang sekarang dikenal sebagai Kaliningrad. Geografinya berantakan. Sungai Pregel terbelah menjadi beberapa cabang dan mengelilingi sebuah pulau. Tujuh jembatan menghubungkan berbagai daratan. Tantangan yang diberikan kepada masyarakat tampak jelas. Bisakah seseorang meninggalkan rumahnya, berjalan melintasi jembatan-jembatan ini, dan kembali ke rumah setelah melintasi masing-masing jembatan tepat satu kali?

Euler membuktikan hal itu mustahil. Dia tidak hanya mengatakan “tidak”. Dia memberi dunia cara baru dalam memandang jaringan.

Aturan jaringan

Logika Euler berlaku untuk semua jaringan tertutup, tidak hanya sungai dan jembatan. Penyelesaiannya terletak pada titik pertemuan garis.

• Jumlah titik genap—node yang menghubungkan jumlah sisi genap—tidak relevan dengan validitas jalur.
• Jumlah titik ganjil—yang bertemu dengan jumlah sisi ganjil—harus selalu genap. Hal ini berlaku meskipun tidak ada titik ganjil.
• Jika tidak ada titik ganjil, Anda dapat memulai dari mana saja dan menyelesaikannya di tempat yang sama.
• Jika ada tepatnya dua titik ganjil, Anda harus memulai di satu titik ganjil dan berakhir di titik ganjil lainnya.
• Jika ada lebih dari dua titik ganjil, satu jalur kontinu tidak mungkin dilakukan. Jaringan dengan $2n$ titik ganjil dapat dilacak dalam $n$ jalur terpisah.

Mengapa jembatan gagal

Lihatlah Gambar 15F. Ini memetakan situasi Königsberg. Titik-titik tersebut mewakili luas daratan. Tepinya melambangkan tujuh jembatan.

Jaringan memiliki empat titik ganjil. Itu berarti Anda memerlukan empat jalur terpisah untuk melacaknya dengan sempurna. Karena orang ingin berjalan terus-menerus, teka-teki ini tidak dapat dipecahkan.

Tokoh-tokoh lain dalam set yang sama menceritakan kisah yang berbeda. Gambar 15B dan 15C berfungsi. Mereka mengikuti prinsip Euler. Anda dapat melintasinya menggunakan jalur Euler. Gambar 15D dan 15E tidak berfungsi. Mereka melanggar aturan ganjil dan genap.

Pelajarannya terhenti. Kami berhenti melihat kurva dan mulai melihat hubungannya.

Anda mungkin berpikir teka-teki jaringan hanyalah permainan asah otak, tetapi sebenarnya teka-teki ini tentang menggabungkan atau mengatur titik-titik dalam ruang. Ini lebih tua dari yang Anda kira.

Sir William Rowan Hamilton, seorang matematikawan Irlandia, membuat konsep tersebut pada tahun 1859. Tantangannya? Temukan rute di sepanjang tepi dodecahedron biasa. Anda harus melewati setiap titik tepat satu kali. Tidak ada pengulangan. Tidak ada jalan pintas.

Belakangan, orang-orang mempermudah permainannya. Mereka menukar bentuk 3D dengan grafik datar dengan 30 sisi. Logikanya sama, lebih sedikit lipatan karton.

Inilah yang kami sebut sirkuit Hamilton. Itu mengenai setiap titik satu kali. Namun, itu tidak mencakup semua sisi. Pada setiap persimpangan terdapat tiga sisi. Sirkuit hanya menggunakan dua di antaranya. Garis tebal pada Gambar 16 menunjukkan salah satu jalur tersebut. Masih banyak lainnya.

Teori grafik dan kekacauan dunia nyata

Teori grafik tidak hanya untuk melipat kertas. Ini mengatasi sakit kepala kombinatorial.

Pikirkan tentang menghubungkan kota-kota dengan kereta api. Atau memasang saluran telepon. Anda memerlukan jaringan yang berfungsi. Teori grafik membantu merencanakan hal itu.

Ini juga menangani lalu lintas. Ini memerintahkan turnamen round-robin sehingga setiap tim bermain melawan tim lainnya. Ini mencocokkan pekerjaan dengan pelamar. Ini adalah kunci kerangka untuk masalah pengaturan.

Masalah peta empat warna

Para kartografer mengetahui sesuatu yang diperdebatkan oleh para ahli matematika selama satu abad.

Tidak ada peta yang membutuhkan lebih dari empat warna. Anda dapat menaungi wilayah mana pun selama wilayah yang berdekatan berbeda. Aturan sederhana. Bukti kuat.

Pada tahun 1852, seseorang membingkai “masalah peta empat warna”. Bisakah Anda membuat peta planar yang membutuhkan lima?

Matematikawan menyerangnya selama bertahun-tahun. Mereka gagal.

Kemudian, pada tahun 1976, tim Universitas Illinois menjatuhkan palu. Mereka membuktikan empat warna sudah cukup.

Inilah yang menarik. Itu adalah bukti besar pertama yang sangat bergantung pada komputer. Mereka menjalankan lebih dari 1.000 jam perhitungan. Diagramnya berasal dari mesin. Beberapa ahli matematika membencinya. Mereka bilang itu tidak cukup “manusiawi”. Tapi itu berhasil.

Anda dapat mengajukan pertanyaan serupa untuk permukaan lain.

Peta pada torus (bentuk donat) membutuhkan tujuh warna. Tidak lebih. Tidak kurang.

Keajaiban flexagon

Flexagon adalah poligon yang terbuat dari kertas atau foil. Ini terlihat seperti strip datar sampai Anda melenturkannya.

Kemudian ia mengubah wajah.

Hal-hal tersebut pertama kali dibahas pada tahun 1939. Sekarang hal-hal tersebut menjadi pokok dalam matematika.

trihexaflexagon adalah versi paling sederhana.

Inilah cara Anda membuatnya:
1. Potong secarik bahan.
2. Tandai 10 segitiga sama sisi.
3. Lipat beberapa kali dengan benar.
4. Rekatkan segitiga terakhir ke sisi sebaliknya dari segitiga pertama.

Lenturkan itu. Satu wajah menghilang. Yang lain menggantikannya. Sederhana saja. Ini aneh. Ini berhasil.

Rekreasi manipulatif

Ini bukan hanya permainan. Mereka adalah model bagaimana kita menyusun ruang.

Asal usul teka-teki susunan dapat ditelusuri kembali ke Lucas’ Puzzle. Bayangkan deretan tujuh kotak. Tiga yang kiri memegang counter hitam. Tiga yang kanan memegang yang putih. Alun-alun tengah kosong. Tujuan Anda: menukarnya. Hitam bergerak ke kanan. Putih bergerak ke kiri. Anda dapat meluncur ke tempat kosong yang berdekatan atau melompati bidak lawan. Untuk n penghitung setiap warna, jumlah gerakannya adalah n (n + 2).

Tingkatkan skalanya. Atau mengecilkannya. Perhitungannya berlaku.

Ada teka-teki saudara dengan delapan penghitung bernomor di sembilan ruang. Balikkan urutannya. Hanya satu gerakan dan lompatan yang diperbolehkan. Tidak ada jalan pintas.

Lalu ada permainan dua pemain. Tic-tac-toe adalah garis dasarnya. Namun variasinya menjadi pedas. Pertimbangkan versi di mana setiap pemain memulai dengan tiga penghitung. Papannya berbentuk kotak 3 × 3. Anda menempatkannya satu per satu. Anda tidak dapat menggunakan titik tengah pada awalnya. Jika tidak ada yang mendapat tiga berturut-turut setelah penempatan, Anda mulai bergerak. Hanya kotak yang berdekatan. Horisontal atau vertikal.

Menangkan dengan membentuk garis.

Bawa ke papan 4 × 4. Masing-masing empat counter. Terkadang diagonal diperhitungkan. Coba pola 5 × 5. Atau lihatlah melintasi Samudera Atlantik menuju Eropa, tempat “mill” atau nine men’s morris berkuasa. Tiga kotak konsentris. Delapan transversal. Hubungkan tiga untuk menghapus bidak lawan. Ini tentang memblokir, bukan sekadar menyelaraskan.

Geometri koneksi

Hex berbeda. Ini bukan tentang garis. Ini tentang rantai.

Piet Hein menemukannya di Denmark pada tahun 1942. Papannya adalah berlian berbentuk segi enam yang diberi tessellated. Biasanya 11 di setiap sisi. “Tessellated” berarti dipasang bersama seperti ubin. Tidak ada celah. Dua sisi yang berlawanan berwarna “putih”. Dua lainnya berwarna “hitam”.

Pemain bergantian menempatkan penghitung. Tujuannya? Bangun rantai yang tidak terputus dari sisi Anda ke sisi lainnya. Putih pergi dari atas ke bawah. Hitam berjalan berdampingan.

Permainan tidak pernah seri. Mengapa? Karena kamu tidak bisa memblokir lawan tanpa menyelesaikan rantaimu sendiri terlebih dahulu. Satu jalur memotong papan. Permainan segera berakhir.

John Nash menemukannya secara independen di AS pada tahun 1948. Bertahun-tahun kemudian, ia memasuki pasar sebagai Hex.

Strategi di sini bukan tentang penyelarasan yang sederhana. Itu topologi. Ini tentang kontrol.

Dilema ratu

Papan catur menawarkan sakit kepala matematisnya sendiri. Yang paling terkenal? Tempatkan delapan ratu di papan standar. Tidak ada yang bisa menyerang yang lain. CF Gauss mengerjakan ini sekitar tahun 1850. Dia bukan satu-satunya yang terobsesi.

Lalu ada tur ksatria. Tur tertutup. Mulai dari persegi. Kunjungi setiap alun-alun lainnya tepat satu kali. Akhiri di tempat Anda memulai. Matematika dibalik ini terbelit dengan kotak ajaib. Pola di dalam pola.

Masalah lain menggali nilai per satuan. Berapa banyak uskup yang bisa Anda muat tanpa mereka saling mengambil satu sama lain? Berapa jumlah minimum ksatria yang dibutuhkan untuk melakukan skakmat pada setiap kotak di papan?

Coba tempatkan 16 ratu. Tidak ada tiga dalam satu garis lurus. Bahkan itu bukanlah hal yang sepele.

Teka-teki Lima Belas

Sam Loyd yang lebih tua senang mengklaim bahwa dia menemukan Lima Belas Puzzle sekitar tahun 1878. Para sarjana modern tidak setuju dengan hal ini. Mereka menemukan penemu sebelumnya. Teka-teki itu juga memiliki nama lain. Teka-teki Bos. Teka-teki Permata. Lapangan Mistik. Penyakit ini menyebar ke seluruh Eropa dengan kecepatan yang mengerikan. Pengaturannya cukup sederhana untuk membingungkan Anda. Baki persegi yang dangkal. Lima belas counter bernomor kecil. Satu kotak kosong. Anda mulai dengan angka-angka dalam urutan acak. Ruang kosong berada di kanan bawah. Tujuannya? Susun ulang potongan-potongan tersebut ke dalam urutan numerik. Anda hanya dapat menggesernya. Ruang kosong harus kembali ke tempat awalnya. Itulah triknya.

Skala masalahnya mungkin membuat kepala Anda pusing. Ada lebih dari 20 miliar miliar kemungkinan susunan kepingan-kepingan tersebut. Termasuk ruang kosong itu. Pada tahun 1879, dua ahli matematika Amerika membuktikan sesuatu yang liar. Hanya separuh dari pengaturan awal tersebut yang benar-benar dapat diselesaikan. Itu sekitar 10 miliar miliar. Sisanya adalah jalan buntu.

Perhitungan di balik ini elegan dan sedikit kejam. Pikirkan tentang jalur yang diambil oleh setiap nomor. Selama berada di pojok kanan bawah, ia melewati kotak yang jumlahnya genap. Ini adalah masalah kesetaraan.

Dalam keadaan terselesaikan, setiap angka lebih besar dari angka sebelumnya. Anda membaca dari kiri ke kanan. Dari atas ke bawah. Tidak ada angka yang mendahului angka yang lebih kecil. Dalam pengaturan lainnya, setidaknya satu nomor melanggar aturan ini. Ini disebut inversi.

Ambil barisan 9, 5, 3, 4. Angka 9 muncul sebelum tiga angka yang lebih kecil. Angka 5 muncul sebelum dua angka yang lebih kecil. Itu total lima inversi. Itu angka ganjil. Jika jumlah total inversi dalam tata letak tertentu genap, maka teka-teki tersebut dapat dipecahkan. Kembalikan kotak ke normal. Jika hitungannya ganjil, Anda kacau. Teka-teki ini tidak memiliki solusi.

Gambar 17B memiliki dua inversi. Larut. Gambar 17C memiliki lima. Mustahil. Secara teoritis, Anda dapat memperluas logika ini ke ukuran baki apa pun. Kotak m kali n. Dengan mn dikurangi satu penghitung bernomor. Perhitungannya masih berlaku.

Menara Hanoi

Edouard Lucas tidak hanya menciptakan teka-teki pada tahun 1883. Dia memberi kita mimpi buruk matematika yang dibungkus dengan kayu.

Matematikawan Perancis. Pokok toko mainan. Tiga pasak. Delapan disk.

Itu adalah Menara Hanoi. Atau setidaknya, itulah yang selalu kami salahkan. Lucas mendapat pujian, meskipun para sejarawan bertengkar mengenai apakah dia benar-benar menciptakannya atau hanya mempopulerkan teka-teki lama. Tidak masalah. Masalahnya ada dimana-mana. Rak versi plastik berantakan. Yang kayu diletakkan di meja kantor. Aturannya cukup sederhana untuk dijelaskan dalam tiga puluh detik.

Tempatkan delapan disk pada satu pasak. Terbesar di bagian bawah. Yang terkecil di atas. Tidak ada disk besar yang bertumpu pada disk kecil. Pindahkan seluruh tumpukan ke pasak lain.

Itu saja.

Tapi ternyata tidak.

Perhitungannya menghantam Anda seperti truk. Untuk n disk, Anda memerlukan tepat $2^n – 1$ perpindahan.

Delapan disk? Itu $2^8 – 1$. 255 gerakan. Dapat dikelola. Agak membosankan. Sebuah ujian kesabaran yang bagus.

Tapi bayangkan legenda aslinya.

Sebuah menara dengan enam puluh empat disk.

Jumlahnya tidak hanya besar. Secara kosmik, ukurannya sangat besar. $2^{64} – 1$.

18.446.744.073.709.551.615.

Coba katakan itu dengan lantang. Dibutuhkan waktu lebih lama dari umur manusia untuk mengucapkannya. Sekarang bayangkan melakukan satu gerakan per detik.

Anda akan berada di sana selama sekitar 585 miliar tahun.

Alam semesta tidak akan berakhir begitu saja. Itu akan larut dalam kematian panas jauh sebelum para biksu dalam legenda selesai memindahkan piring terakhir.

Kemustahilan yang sama juga ditemukan dalam kisah butiran gandum di papan catur. Satu butir di kotak pertama. Dua pada detik. Empat. Delapan. Menggandakan setiap langkah. Pada kotak keenam puluh empat, Anda memerlukan setiap gantang gandum yang pernah dipanen dalam sejarah manusia. Dan kemudian beberapa.

Menara Hanoi bukanlah sebuah permainan. Ini adalah pelajaran tentang pertumbuhan eksponensial. Label peringatan bagi siapa pun yang berpikir “satu gerakan lagi” tidak akan berguna.

Poliomino

Kata “polyomino” muncul pada tahun 1953 sebagai variasi lucu dari “domino”. Ini menggambarkan bentuk yang terbuat dari kotak berukuran sama yang disatukan dari ujung ke ujung. Anda tidak dapat mengangkat sudut tanpa memutus sambungannya. Versi yang lebih sederhana mudah divisualisasikan. Tapi kesenangan sesungguhnya dimulai dengan pentomino.

Ada dua belas bentuk pentomino yang unik. Potongan asimetris tidak dihitung dua kali jika Anda membaliknya. Mereka masih satu tipe saja.

Para ahli matematika telah berjuang untuk menemukan rumus umum untuk jumlah poliomino berbeda berdasarkan jumlah persegi. Namun, kami mengetahui jumlah pesanan tertentu. Ada 35 hexomino. Ada 108 heptomino, dengan asumsi Anda menghitung heptomino aneh yang berlubang di tengahnya.

Bisakah Anda Menyesuaikan Semuanya?

Teka-teki yang melibatkan poliomino termasuk dalam geometri kombinatorial. Tujuannya biasanya untuk memasukkan potongan ke dalam bentuk tertentu atau menutupi papan tanpa celah.

Ambil 35 hexomino. Bersama-sama, mereka mencakup 210 kotak. Anda mungkin berpikir Anda bisa menyusunnya menjadi persegi panjang sederhana. Perhitungan matematika menyarankan opsi seperti 3 kali 70, 5 kali 42, atau 14 kali 15. Namun tidak berhasil. Tidak ada persegi panjang seperti itu yang dapat dibentuk.

Bagaimana dengan dua belas pentomino ditambah satu tetromino persegi? Bisakah mereka mengisi papan catur 8×8?

Ya. Masalah ini terjadi sekitar tahun 1935. Kita tidak tahu jumlah total solusinya, tapi perkiraan menyebutkan setidaknya ada 1.000 solusi. Krisis komputer pada tahun 1958 membuktikan bahwa ada 65 solusi di mana satu bagian persegi berada tepat di tengahnya.

Kubus Soma

Konsepnya meluas menjadi tiga dimensi. Sama seperti poliomino yang berbentuk datar, kubus Soma adalah struktur 3D. Mereka terpecah menjadi tujuh bagian yang tidak beraturan. Setiap bagian terbuat dari empat atau lima kubus yang disambung berhadap-hadapan.

Benjamin Seymour Wright, seorang fisikawan, dan John Horton Conway, seorang ahli matematika, membantu mempopulerkan teka-teki ini pada tahun 1950-an. Tantangannya sederhana. Ambil tujuh potong. Buatlah kubus berukuran 3x3x3.

Ada 240 cara berbeda untuk menyelesaikannya. Jika Anda mengabaikan rotasi dan refleksi, jumlahnya akan berkurang. Namun keragamannya sangat mencengangkan. Kubus Soma pada dasarnya adalah persamaan 3D dari soal pentomino. Hal ini membutuhkan penalaran spasial dan bukan hanya geometri datar.

“Jumlah poliomino berbeda dalam orde apa pun merupakan fungsi dari jumlah kotak di masing-masing poliomino, namun, hingga saat ini, belum ada rumus umum yang ditemukan.”

Pentomino dan hexomino tetap populer karena terlihat sederhana. Mereka terlihat seperti mainan. Mereka bertindak seperti algoritma yang kompleks.

Lubang di heptomino itu masih mengganggu sebagian orang puritan. Itu melanggar aturan “hanya terhubung”. Tapi itu ada. Dan itu penting.

Apakah Anda lebih suka tantangan datar pada papan 8×8 atau putaran 3D kubus Soma? Komputer menemukan 65

Geometri Permainan

Piet Hein dari Denmark tidak hanya menciptakan hex dan tac-tix. Dia menemukan sesuatu yang lebih aneh. Anda mengambil tiga atau empat kubus yang kongruen. Bergabunglah dengan mereka di depan mereka. Bentuk tidak beraturan yang dihasilkan? Tepatnya ada tujuh di antaranya. Matematikawan menyebutnya Soma Cubes. Satukan kembali, dan mereka membentuk kubus yang lebih besar dan sempurna. Itu adalah fakta yang sulit dijelaskan dengan mudah.

Bentuk kelima dan keenam merupakan bayangan cermin. Tidak ada dua bagian yang sama. Namun, ketujuh bongkahan ini—total 27 unit kubus—diubah kembali menjadi balok berukuran 3x3x3 dengan lebih dari 230 cara yang pada dasarnya berbeda.

Variasi struktur menarik yang mungkin ada sepertinya tidak ada habisnya.

Anda bisa membuat sofa. Sebuah kursi. Sebuah kastil. Sebuah terowongan. Sebuah piramida. Hanya dengan menata ulang bagian dasarnya. Sebagai hiburan, Soma Cubes membuat ketagihan. Orang menyelesaikannya secara mental dengan pengalaman. Psikolog telah menemukan korelasi kasar antara kecepatan penyelesaian dan kecerdasan umum. Tentu saja ada anomali di kedua ujung spektrum. Tapi pemain tidak berhenti. Mereka terus membangun.

Kotak dan Kubus Berwarna

Lalu ada teka-teki berwarna. Ubin. kubus. Tepi yang harus cocok.

Perhatikan teka-teki persegi panjang 4×6. Anda memiliki 24 pola tiga warna dari ubin persegi yang dibagi lagi. Aturlah sehingga ujung-ujungnya yang bersentuhan memiliki warna yang sama. Dan seluruh perbatasan? Satu warna. Sederhana dalam deskripsi. Sulit dalam latihan.

Yang lebih terkenal adalah Puzzle 30 Kubus Berwarna. Lukis enam warna pada permukaan kubus. Ada total 2.226 kombinasi. Pilih hanya yang memiliki keenam warna. Anda mendapatkan 30 kubus berbeda. Dua kubus dikatakan “berbeda” jika Anda tidak dapat menempatkannya berdampingan sehingga semua sisi yang bersesuaian cocok.

Ini muncul secara komersial dengan nama seperti Mayblox Puzzle, Tantalizer, dan Katzenjammer. Namun perubahan sesungguhnya datang dengan Kegilaan Instan.

Empat kubus. Putih, merah, hijau, biru. Susunlah menjadi prisma 1x1x4. Masing-masing dari empat sisi panjang harus menunjukkan keempat warna. Setiap kubus memiliki 24 orientasi. Itu menyisakan 82.944 kemungkinan pengaturan. Hanya dua yang berfungsi.

Kemudian, Kegilaan Instan ditelan oleh sesuatu yang lebih besar.

Bangkitnya Kubus Rubik

Ernő Rubik mematenkannya di Hongaria pada tahun 1975. Terutoshi Ishigi diajukan di Jepang pada tahun 1976. Kubus Rubik lahir.

Ini terlihat seperti 27 kubus yang lebih kecil. Dalam keadaan terselesaikan, masing-masing dari enam sisi berwarna solid. Versi komersial menggunakan sistem pivot internal. Memutar sebuah lapisan. Kubusnya berebut.

Tantangannya adalah memulihkan ketertiban. Jumlah negara bagian yang dapat dijangkau lebih dari 10^19. Sastra yang berkembang pesat muncul dengan cepat. Matematikawan menggunakan teori grup untuk memetakan solusi sistematis. Teka-teki itu bukan sekadar mainan. Itu adalah binatang matematika.

Nim dan Game Serupa

Nim lebih tua dari catatan yang ditunjukkan. Asal usulnya tidak jelas. Tapi itu cocok untuk matematika yang sulit.

Ambil sejumlah objek. Bagilah menjadi beberapa tumpukan. Dua pemain bergiliran. Pilih tumpukan. Hapus satu atau semua objek. Pemain yang mengambil benda terakhir menang.

Setiap posisi bisa “aman” atau “tidak aman”.
Jika Anda membiarkan lawan dalam posisi tidak aman, Anda bisa memaksakan kemenangan.
Jika Anda membiarkan mereka dalam posisi aman, gerakan apa pun yang Anda lakukan akan memberikan keuntungan bagi mereka.

Bagaimana Anda tahu yang mana? Notasi biner. Jumlahkan kolom objek di setiap tumpukan. Jika setiap kolom berjumlah nol atau bilangan genap maka posisinya aman.

Contoh: Tiga tumpukan dengan 4, 9, dan 15 benda.

Perhitungannya terlihat seperti ini:

4: 0 1 0 0
9: 1 0 0 1
15: 1 1 1 1

---

Jumlah:2 2 1 0

Dua genap. Dua genap. Yang satu aneh. Yang satu genap.

Kolom ganjil merusak pengaman. Posisinya tidak aman.

Logika teori permainan tidak berhenti pada aritmatika sederhana. Jika posisi tidak aman tetap ada, pemain yang terampil akan selalu bermanuver untuk menggeser papan ke kondisi aman. Ini adalah masalah kelangsungan hidup dalam arsitektur abstrak game.

Pertimbangkan variasi dengan hanya dua tumpukan. Anda dapat mengambil objek dari tumpukan mana pun. Atau keduanya. Namun jika mengambil dari keduanya, maka harus mengambil angka yang sama dari masing-masingnya. Orang yang melakukan counter terakhir menang.

Game seperti Nim menuntut ketangkasan mental tertentu. Anda perlu menerjemahkan angka desimal ke biner dan kembali lagi. Ini tidak intuitif bagi kebanyakan manusia. Namun, ini sempurna untuk mesin. Komputer digital berjalan pada biner. Mereka mengucapkannya secara asli. Oleh karena itu, komputer dapat diprogram untuk memainkan permainan yang sempurna.

Edward Uhler Condon dan rekannya menemukan mesin seperti itu. Nimatron otomatis. Ini memulai debutnya di Pameran Dunia New York pada tahun 1940. Seorang pemain manusia yang mengalahkan dengan perhitungan belaka.

Game Menghitung Global

Permainan-permainan ini bukanlah keingintahuan yang terisolasi. Mereka dimainkan di seluruh dunia. Ambil contoh permainan kerikil, juga dikenal sebagai permainan peluang. Dua orang memulai dengan jumlah kerikil ganjil dalam satu tumpukan. Mereka bergiliran menggambar satu, dua, atau tiga kerikil. Ketika tumpukannya kosong, pemain yang memegang hitungan ganjil menang.

Pendahulunya ada. Mereka lebih tua. Permainan mancala. Pemain membagikan kerikil, biji, atau penghitung ke dalam deretan lubang. Aturannya berbeda-beda. Mereka telah dimainkan selama berabad-abad di Afrika dan Asia. Mekanismenya sederhana. Strateginya sangat mendalam.

Masalah Inferensi Logis

Banyak teka-teki yang tidak melibatkan angka. Mereka jarang melibatkan geometri, jikapun ada. Mereka menyerukan inferensi deduktif berdasarkan hubungan logis.

Jangan bingung membedakannya dengan teka-teki. Teka-teki mengandalkan ambiguitas. Mereka menggunakan permainan kata. Mereka berniat menangkap mereka yang tidak waspada. Teka-teki logika tidak memiliki prosedur standar. Tidak ada pola umum untuk penyelesaiannya. Anda menyelesaikannya dengan coba-coba.

Tebakannya tidak sembarangan. Fakta-fakta yang diberikan—biasanya minimal—menunjukkan beberapa hipotesis. Anda menolak yang tidak konsisten. Melalui substitusi dan eliminasi, solusinya muncul. Teknik logika membantu. Namun kesuksesan bergantung pada kecerdikan. Kapasitas yang sulit dipahami.

Masalah logika dikelompokkan di sini untuk kenyamanan.

Tukang Rem, Pemadam Kebakaran, dan Insinyur

Ini klasik. Versi dari Mathematics for Pleasure karya Oswald Jacoby dan William Benson (1962) tetap definitif.

Nama petugas rem, pemadam kebakaran, dan insinyur adalah Smith, Jones, dan Robinson. Belum tentu dalam urutan itu. Tiga penumpang berbagi nama ini. Untuk menghindari kebingungan, kami menyebut mereka Tuan Smith, Tuan Jones, dan Tuan Robinson.

Berikut faktanya:
– Tuan Robinson tinggal di Detroit.
– Tukang rem tinggal di tengah-tengah antara Chicago dan Detroit.
– Tuan Jones memperoleh penghasilan tepat $2.000 per tahun.
– Smith mengalahkan petugas pemadam kebakaran di biliar.
– Tetangga sebelah tukang rem (seorang penumpang) mendapat penghasilan tepat tiga kali lipat dari tukang rem.
– Penumpang yang tinggal di Chicago memiliki nama yang sama dengan tukang rem.

Siapa nama insinyurnya?

Solusinya adalah menghilangkan kemustahilan. Anda tidak dapat berasumsi bahwa nama tersebut cocok dengan peran secara langsung. Anda harus memetakan geografi dengan pendapatan. Anda harus menghubungkan kemenangan biliar dengan profesinya. Ini adalah suatu simpul kendala yang ketat.

Grup yang Tumpang Tindih

Kategori ini berkaitan dengan set. Masalah klub bahasa di sekolah menengah adalah hal yang umum.

Di antara anggotanya:
– 21 belajar bahasa Prancis.
– 20 belajar bahasa Jerman.
– 26 belajar bahasa Spanyol.
– 12 orang belajar bahasa Prancis dan Spanyol.
– 10 orang belajar bahasa Prancis dan Jerman.
– 9 belajar bahasa Spanyol dan Jerman.
– 3 belajar bahasa Prancis, Spanyol, dan Jerman.

Berapa banyak anggota klub di sana? Berapa banyak yang hanya mempelajari satu bahasa?

Jumlahnya tumpang tindih. Anda tidak bisa menambahkannya begitu saja. Anda harus memperhitungkan persimpangannya. Logika diagram Venn tersirat di sini. Anda mengurangi jumlah yang tumpang tindih dari totalnya. Kemudian Anda menyesuaikan untuk tiga kali lipat tumpang tindih. Jawabannya tidak secara keseluruhan. Itu ada dalam struktur kelompok.

Kebenaran dan Kebohongan

Variasi lainnya menyangkut keandalan pernyataan. Ksatria dan ksatria.

Penduduk asli pulau tertentu adalah ksatria atau penjahat. Mereka terlihat identik. Ksatria selalu mengatakan yang sebenarnya. Knaves selalu berbohong.

Seorang pengunjung bertemu dengan tiga penduduk asli. Dia bertanya apakah mereka ksatria atau penjahat. Yang pertama mengatakan sesuatu yang tidak terdengar. Yang kedua menunjuk ke yang pertama dan berkata, “Dia mengatakan bahwa dia adalah seorang ksatria.” Yang ketiga menunjuk ke yang kedua dan berkata, “Dia berbohong.”

Pengunjung mengetahui bahwa hanya satu yang merupakan penjahat. Dia memutuskan apa masing-masingnya.

Jika orang pertama mengatakan dia adalah seorang ksatria, dia akan berbohong jika dia seorang penjahat. Atau mengatakan yang sebenarnya jika dia seorang ksatria. Penduduk asli kedua melaporkan pernyataan ini. Jika yang kedua adalah seorang ksatria, dia melaporkan dengan jujur. Jika dia penipu, dia berbohong tentang apa yang dikatakan. Yang ketiga menyebut yang kedua pembohong.

Ini adalah rantai verifikasi. Satu putusnya rantai akan mengungkap si pembohong.

Tipe yang berbeda melibatkan empat pria. Seseorang melakukan kejahatan. Polisi menanyai mereka.

• Archie: Dave yang melakukannya.
• Dave: Tony melakukannya.
  *Gus: Bukan aku yang melakukannya.
• Tony: Dave berbohong ketika dia bilang aku yang melakukannya.

Jika hanya satu pernyataan yang benar, siapakah yang bersalah? Jika hanya satu pernyataan yang salah, siapakah orang yang bersalah?

Sumbernya adalah 101 Puzzles in Thought and Logic karya C.R. Wylie, Jr. (1957). Publikasi Dover. Paradoksnya bergantung pada kontradiksi antara Dave dan Tony. Dave menuduh Tony. Tony bilang Dave berbohong. Keduanya tidak mungkin mengatakan yang sebenarnya. Mereka berdua tidak bisa berbohong tentang tuduhan itu sendiri dengan cara yang bisa menjaga aturan “satu kebenaran” dengan mudah. Anda harus menguji setiap tersangka. Asumsikan Archie bersalah. Periksa pernyataannya. Asumsikan Dave bersalah. Periksa pernyataannya. Kebenaran muncul dari penghapusan skenario yang mustahil.

Logikanya berlaku. Atau tidak. Anda harus memutuskan mana yang cocok.

Cara Kerja Puzzle Dahi yang Tercoreng

Kisah tiga pengembara dan wajah mereka yang berlumuran jelaga adalah contoh klasik deduksi logis murni. Tiga pria keluar dari terowongan kereta. Masing-masing mempunyai noda jelaga di keningnya, namun tak seorang pun dapat melihat wajahnya sendiri. Mereka tertawa satu sama lain. Sebelum mereka dapat memeriksa kaca spion, sesama penumpang mengusulkan tes.

Lihatlah dua lainnya. Jika Anda melihat setidaknya satu dahi tercoreng, angkat tangan Anda.

Ketiganya langsung mengangkat tangan. Aturannya sederhana: angkat tangan sampai Anda yakin dengan status Anda, lalu jatuhkan.

Sesaat kemudian, seorang pria melepaskan tangannya. Dia tahu dia tercoreng. Inilah cara dia menemukan jawabannya.

Jika dia bersih, dua pria lainnya hanya akan melihat satu wajah yang tercoreng (satu sama lain). Jika seseorang hanya melihat satu wajah yang tercoreng, dia berpikir: “Jika saya bersih, orang itu melihat dua wajah yang bersih. Dia akan langsung mengetahui bahwa wajahnya sendiri tercoreng karena tangannya terangkat. Dia akan langsung menjatuhkan tangannya.”

Namun mereka tidak menyerah. Mereka ragu-ragu. Keraguan itu membuktikan kepada pengelana kami yang jeli bahwa dua orang lainnya juga melihat sesuatu. Mereka berdua melihat wajahnya yang tercoreng. Oleh karena itu, dia tahu dirinya kotor.

Memahami Paradoks Menggantung yang Tak Terduga

Paradoks gantung yang tak terduga muncul dari mulut ke mulut pada awal tahun 1940-an. Ini masih merupakan teka-teki yang rumit.

Seorang hakim memberi tahu seorang tahanan bahwa dia akan digantung minggu depan. Penggantungan akan terjadi pada siang hari pada suatu hari. Tahanan tidak akan mengetahui kedatangannya sampai pagi hari itu.

Tahanan berpendapat hukuman itu tidak mungkin. Dia mulai dengan hari terakhir: Sabtu. Jika dia masih hidup pada hari Jumat sore, dia tahu bahwa hukuman gantung harus dilakukan pada hari Sabtu. Tapi itu berarti dia sudah mengetahuinya sebelumnya. Ini melanggar aturan hakim. Jadi hari Sabtu sudah keluar.

Dengan logika yang sama, hari Jumat juga menjadi mustahil. Jika dia bertahan pada hari Kamis, dan hari Sabtu dikesampingkan, hari Jumat menjadi satu-satunya pilihan. Dia akan mengetahuinya lagi.

Dia bekerja mundur sepanjang minggu. Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu semuanya tereliminasi. Tahanan menyimpulkan bahwa dia aman.

Hakim masih bisa menggantungnya. Paradoksnya tidak kentara. Pernyataan tentang peristiwa yang akan terjadi di masa depan mungkin benar bagi hakim namun tetap tidak diketahui oleh narapidana sampai peristiwa tersebut benar-benar terjadi. Logika tahanan gagal karena mengasumsikan prediksi harus diketahui sebelum menjadi valid. Tidak.

Sejarah Paradoks Logis

Teka-teki ini lebih dari sekedar permainan. Mereka menyentuh dasar-dasar matematika. Mereka sangat lucu dan sering kali menggoda.

Nabi Epimenides dari Kreta menyebabkan masalah sejak abad ke-6 SM. Dia berkata, “Semua orang Kreta adalah pembohong.” Karena Epimenides adalah orang Kreta, dia berbohong. Jika dia berbohong, maka tidak semua orang Kreta adalah pembohong. Tapi jika dia mengatakan yang sebenarnya, dia pembohong. Ini adalah kontradiksi diri.

Pada tahun 1913, matematikawan P.E.B. Jourdain mengusulkan paradoks kartu.
Sisi satu: “Kalimat di sisi lain kartu ini BENAR.”
Sisi kedua: “Kalimat di sisi lain kartu ini SALAH.”
Jika sisi satu benar, maka sisi kedua benar. Tapi pihak kedua mengatakan pihak satu salah. Kontradiksi.

Bertrand Russell menambahkan paradoks tukang cukur. Tukang cukur mencukur semua orang di desa yang tidak mencukur dirinya sendiri. Siapa yang mencukur tukang cukur?
Jika dia mencukur dirinya sendiri, dia tidak seharusnya mencukurnya. Jika tidak, dia harus melakukannya. Paradoks tukang cukur bergantung pada pernyataan tentang suatu kelas yang objeknya merupakan bagian dari kelas tersebut. Russell mencoba memperbaikinya dengan hierarki tipe logis. Hal itu tidak sepenuhnya menyelesaikan masalah. Persoalan ini berada tepat di jantung matematika filosofis.

“Seluruh masalah terletak dekat dengan landasan filosofis matematika.”

Teka-teki ini memaksa kita untuk melihat bagaimana kita mendefinisikan kebenaran, pengetahuan, dan referensi diri. Mereka tidak hanya menghibur. Mereka mengungkap celah dalam pemikiran kita. Wajah yang tercoreng mengajarkan kita tentang ilmu yang dibagikan. Hukuman gantung ini menyingkapkan batas-batas prediksi. Pembohong dan tukang cukur menunjukkan kepada kita bahayanya mengacu pada diri sendiri.

Kami terus kembali kepada mereka. Bukan karena kita punya semua jawabannya. Tapi karena pertanyaannya terus berubah bentuk.