Historie číselných her a matematické zábavy

Čtete o hrách s čísly. Nejen o sudoku, nejen o kryptografii. Mluvím o hluboké historii hádanek, které vypadají jako hračky, ale ve skutečnosti jsou portály k seriózní matematice.

Toto je matoucí kategorie. Nemohou být úhledně uspořádány na policích. Některé z nich jsou hloupé zábavné. Jiné jsou nevyřešené problémy, které matematiky mate po staletí. Seznam zapojených divokých témat. Aritmetický. Algebra. Geometrie. Topologie. Teorie grafů. Matrice. Teorie skupin. Kombinatorika. Teorie množin. Symbolická logika. Pravděpodobnost.

Zkuste si to vše zařadit. Neuspějete. Pokus je libovolný.

Právě to je na matematické zábavě zajímavé. Stírají hranice mezi koníčkem a povoláním.

Nevinný hlavolam se sledováním cest vás může přimět obrátit se k teorii grafů. Počítání částí geometrického útvaru? To je kombinatorika. Rozdělení mnohoúhelníku? Teorie skupin. Logický závěr? Matrice.

Věci, které se ve středověku zdály nemožné, jsou dnes díky moderním metodám triviální.

Proč hrajeme

Existuje univerzální touha řešit hádanky. Nezáleží na tom, zda jste mladí nebo staří. Vylepšené nebo ne.

G. H. Hardy, významný anglický matematik, to poznamenal. Profesionální tvůrci hlavolamů to vědí také. Využívají toho. Veřejnost tím získává intelektuální uspokojení.

Literatura je rozsáhlá. Zejména od 20. století.

Něco z toho se opakuje. Překvapivě každá generace považuje staré dobré hádanky za rozkošné. I když mají na sobě nové oblečení. Neustále se přidává nový materiál.

Rané dny

Lidé vždy rádi vytvářeli výzvy. Intelektuální potěšení. Zvědavost. Tajný.

Díky této přitažlivosti přežilo mnoho raných zábav. Některé pocházely od starých Řeků a Římanů. V době temna jsme o nich věděli málo. Zájem se vrátil do středověku.

Proč? Byl vynalezen tiskařský lis. Autoři aritmetických textů se nechali inspirovat. Raní algebraisté a vědci začali soutěžit a diskutovat.

Nejvíce to bylo patrné na kontinentu. Itálie. Německo.

Významnými přispěvateli jsou:
* Rabbi ben Ezra (1140)
* Fibonacci (Leonado z Pisy; 1202)
* Robert Record (1542)
* Girolamo Cardano (1545)

Dva typy úkolů

Úkoly obecně spadaly do dvou kategorií.

Manipulace s objekty.
Výpočetní technika.

První typ vyžadoval minimální matematické dovednosti. Prostě všeobecná inteligence a vynalézavost.

Přemýšlejte o úlohách přenosu kapalin. Nebo o těžkých přejezdech.

Příklad s transfuzí:
Musíte odměřit jeden litr tekutiny. Máte jen osm, pět a tři čtvrtlitrové míry. jak to uděláš?

Příklad s obtížným přechodem:
Tři páry musí překročit potok. Loď pojme pouze dvě osoby. Každý manžel je příliš žárlivý na to, aby opustil svou ženu s jiným mužem. Jak se dostanou?

V průběhu let se objevilo mnoho variací obou typů.

Výpočetní úlohy

Druhý typ zahrnoval skutečné výpočty. Měly mnoho podob.

Zde je několik příkladů.

Hledání čísla

Myslete na číslo.
Ztrojnásobte to.
Vezměte polovinu kusu.
Ztrojnásobte tento výsledek.
Vezměte si znovu polovinu.
Vydělte devíti.

Kvocient se bude rovnat jedné čtvrtině vašeho původního čísla.

Problémy „Kéž tě Bůh přivítá“

Někdo říká: “Kdyby nás bylo stejně a o polovinu víc, bylo by nás 30.”

Text začíná slovy „Bůh vás zdraví, vás všech 30 společníků“. Kolik jich opravdu bylo?

Problém se šachovnicí

Na první čtverec položte jedno zrnko pšenice.
Dva za druhého.
Čtyři na třetí.
Udělejte to pro všech 64 buněk.

Kolik fazolí bude potřeba?

Lev ve studni

Tohle je klasika. Jedná se o pohyb konstantní rychlostí, kterému brání zpětný pohyb.

Lev je ve studni hluboké 50 loket.
Zvedne se o 1/7 lokte za den.
Posune se o 1/9 lokte dozadu.

Za kolik dní se dostane ven?

Problémy s kurýry

Zahrnují tělesa pohybující se danou rychlostí. V jednu chvíli znáte jejich pozici. Musíte najít čas potřebný k tomu, abyste dorazili k určenému jinému bodu.

Boom matematické zábavy v 17. století

Dávno předtím, než internet nabízel nekonečné hádanky, zažilo 17. století explozi knih, které se výhradně věnovaly zábavným problémům. Nebyla to jen suchá akademická cvičení. Zabývali se také mechanikou a vědou. Jiskra, která zažehla tento zájem, přišla z Francie.

Claude-Gaspard Baquet de Meziriats změnil pravidla hry. Je jedním z prvních průkopníků v této oblasti. Památný pro své vydání řecké teorie čísel Diophantus z roku 1621, Baquet také publikoval v roce 1612 Problèmes plaisans et delectables qui se font par les nombres.

Tato druhá kniha se stala vzorem. Prošla pěti vydáními, přičemž poslední vyšlo v roce 1959. To je na knihu s hádankami velmi dlouhá životnost.

Bucket kladl důraz spíše na aritmetiku než na geometrii. Jeho úkoly byly konkrétní a naléhavé.
– Zavedl jiné číselné soustavy než desítkové.
– Zahrnul karetní triky.
– Vytvořil puzzle s ciferníkem založené na jedinečných schématech číslování.
– Položil klasický problém najít nejmenší sadu vah, která by mohla vážit jakoukoli váhu od 1 do 40 liber.
– Přidal složité scénáře přechodu přes řeku.

Byly to tyto originální matematické hádanky, které definovaly žánr na další desetiletí.

Francouzští imitátoři a německá expanze

S Bucketem trend neskončil. V roce 1624 Jean Leron publikoval Récréations mathématiques. Psal pod pseudonymem van Etten.

Leronova kniha u čtenářů rezonovala. Do roku 1700 prošel nejméně 30 vydáními. Byla oblíbená i přesto, že šlo hlavně o kopii. Leron vzal Baquetovy jednodušší problémy a ignoroval významnější části. Byla tam nějaká původní tvorba, ale hlavně kniha sloužila jako předloha.

Ovlivnila Midorzh a Shwender. Anglický překlad se objevil v roce 1633. Název byl nemotorný: „Mathematicall Recreations, or a Collection of Sundrie Problemes…“ Sliboval tajemství přírody a experimenty v aritmetice, geometrii a optice. Přeložil William Oughtred.

Francouzi pokračovali ve výrobě obsahu. Claude Midorge publikoval Examen du livre des récréations mathématiques v roce 1630. Denis Henrion pak vydal svou vlastní verzi v roce 1659, založenou převážně na Midorge.

Mezitím vliv přešel kanál do Německa. Daniel Schwender, profesor hebrejštiny a matematiky, sestavil rozsáhlou sbírku. Použil překlad Leronova díla a přidal vlastní poznatky.

Posmrtně se v roce 1636 objevily „fyzikálně-matematické radosti nebo matematicko-filosofické hodiny volného času“ (Deliciae Physico-mathematicae oder Mathische und Philosophische Erquickstunden). Měly obrovský úspěch. Další dvě vydání následovala v letech 1651 a 1653. Schwenderovo rozšířené vydání bylo po mnoho let nejúplnějším pojednáním tohoto druhu.

Ani Itálie nezůstala stranou. Jezuita Mario Bettini vytvořil v letech 1641–1642 dvousvazkové dílo s názvem A Piaria Universae Philosophiae Mathematicae. V roce 1660 vyšlo třetí vydání: „Nejnovější včelnice matematických zábav“ (Recreationum Mathematicarum Apiaria Novissima).

Pak přišel Johann Moret ze Šlesvicka. V roce 1665 vydal Arithmetische Lustgarten, napodobeninu Schwendera.

Pozdní vstup Anglie

Anglie na to přišla pozdě. William Laybourn byl víc než jen spisovatel. Byl učitelem matematiky, autorem učebnic a zeměměřičem.

V roce 1694 vydal Pleasure with Profit: Consisting of Recreations of Divers Kinds. Výčet žánrů byl vyčerpávající: numerický, geometrický, mechanický, statický, astronomický, chronometrický, kryptografický, magnetický, automatický, chemický a historický.

Na titulní straně byl jasně uveden účel. Kniha se snažila „pobavit duchaplné mysli a povzbudit je k dalšímu studiu těchto vznešených věd“. Chtěla také odvést pozornost mladých lidí od neřestí.

Významnou část svazku tvořil tradiční výukový materiál. Laybournova publikovaná díla vyrostla z jeho učitelské kariéry. Učil tolik, kolik ho bavilo.

Éra tištěných hádanek připravila půdu pro vše, co následovalo.

Boom 18.–19. století

1. století oheň nejen udržovalo, ale také ho rozdmýchávalo. V Anglii došlo k nárůstu publikací. Edward Hutton, Thomas Gent, Samuel Clarke, William Hooper, všichni přispěli. Pak přišel rok 1775. Charles Hutton vytvořil pět svazků úryvků z Deníku dam, zdůrazňujících zábavné matematické a poetické části. Kontinent nezůstal pozadu. Christian Peschek, opat Bonaventure, Paul Halken v Nizozemsku. Edme-Gilles Guillot publikoval Nouvelles Récréations physiques et mathématiques ve čtyřech svazcích v roce 1769 a 1786.

Jedno jméno však převyšuje ostatní. Jacques Ozanam. Stal se předchůdcem dalších dvou století tohoto žánru. Jeho Récréations mathématique et physiques vyšly poprvé ve čtyřech svazcích již v roce 1694. Kniha prošla nesčetnými vydáními. Čerpal z díla Bachet, Midorge, Leron a Schwenter. Montucla ji později přepracoval a rozšířil. Charles Hutton ji pak přeložil do angličtiny v letech 1803 a 1814. Edward Riedel ji v letech 1840 a 1844 znovu zrevidoval.

První polovina 19. století byla klidná. Mírný objem publikací. Méně známí autoři. Ve druhém poločase pak došlo k výbuchu. Rostoucí zájem vedl na samém přelomu století. Edward Luke. C. L. Dodgson, známý jako Lewis Carroll. Lukovy Récréations mathématiques byly publikovány ve čtyřech svazcích v letech 1882 až 1894 a staly se klasikou. Dodgson přidal svou vlastní chuť. Symbolic Logic, The Game of Logic, Pillow Problems a A Tangled Tale ve dvou svazcích, vydaných v letech 1885 až 1895.

Těžké váhy 20. století

Když vstoupíte do 20. století, potkáváte barevné postavičky. Dva Američané jménem Sam Loyd – otec a syn. Starší Loyd byl mistrem ve výrobě hlavolamů. Po léta prodával svůj týdenní sloupek síti národních syndikátů. To znamenalo vážné pokrytí publika. Vytvořil nebo upravil stovky mechanických hlavolamů. Vyrobeno z lepenky, dřeva, kovu. To vše přineslo finanční odměnu.

Když Lloyd Jr. zemřel v roce 1934 ve věku 60 let, ocenění jeho práce bylo ohromující. Vytvořil nejméně 10 000 hádanek. To je spousta záhad.

Přispělo i Německo. Hermann Schubert vydal Zwölf Geduldspiele v roce 1899. Poté Mathematische Mussestunden vyšlo ve třech svazcích v letech 1907–1909. Wilhelm Arens byl činný v letech 1904 až 1920. Jeho Mathematische Unterhaltungen und Spiele (dva díly, 1910) obsahoval rozsáhlou bibliografii. To je známka seriózního vědeckého přístupu.

Velká Británie dala Henrymu Dudeneymu. Spolupracoval s Strand Magazine. Jeho sbírky hlavolamů byly mimořádně oblíbené. V letech 1917 až 1967 byly mnohokrát přetištěny. Matematické rekreace a eseje od W. W. Rose Balla, vydané v roce 1892, se rychle staly klasikou. Proč? Její vědecký přístup ji odlišoval od ostatních. Kniha prošla deseti vydáními. Britský profesor H. S. M. Coxeter jej revidoval v roce 1938. Dodnes zůstává standardním odkazem.

Za zmínku také stojí Maurice Krajcik. V letech 1900 až 1942 redigoval časopis Sphinx a napsal několik známých děl.

Změna kurzu v polovině století

Tady to začíná být zajímavé. Kolem poloviny 20. století se zaměření přesunulo. Předtím se zájem soustředil na specifickou zábavu. Číselné kuriozity. Jednoduché geometrické hádanky. Aritmetické úlohy ve formě příběhů. Skládací papír. Figurky vyrobené z nití. Geometrické řezy. Manipulativní hádanky. Triky s čísly a kartami. Magické čtverce.

Oblíbené byly i tyto úctyhodné zábavy. Třísekce úhlu. Duplikování krychle. Vyrovnání kruhu. Dokonce nepolapitelná čtvrtá dimenze.

V polovině století se trend posunul směrem ke složitosti. Kryptogramy si získaly popularitu. Modulární aritmetika. Číselné soustavy. Teorie čísel. Grafy a sítě. Mříže. Teorie skupin. Topologické kuriozity. Balení a nátěry. Flexagony. Kombinatorické problémy. Teorie pravděpodobnosti. Úlohy induktivního uvažování.

Do popředí se dostaly logické paradoxy. Logické bludy. Paradoxy nekonečna. Matematika se stala obtížnější. Hry jsou chytřejší.

Aritmetická a algebraická zábava

Číselné vzory a kuriozity

Některé skupiny přirozených čísel odhalí překvapivé vzorce, pokud na ně použijete běžnou aritmetiku. Je to příjemná zábava. Podívejte se na tento příklad:

Skrytá matematika více stupňů

Není to jen o přidání několika celých čísel. Vícestupňové jsou speciálním typem číselné hry, ve které se dvě různé sady čísel shodují více než jen jejich základní součet. Také se shodují, když jsou povýšeni do vyšších mocností.

“Identity mezi součty dvou sad čísel a součty jejich druhých mocnin nebo mocnin vyššího řádu.”

Představte si to jako matematický přelud. Vezmete sadu A a sadu B. Sečtěte čísla v každé z nich. Výsledek je stejný. Nyní odmocni každé číslo v obou sadách. Součty těchto čtverců se také shodují. Můžete jít dál – kostky, čtvrté mocniny a tak dále.

To není náhoda. Toto je strukturovaná identita. Matematici to používají ke studiu toho, jak spolu souvisí čísla nad rámec jednoduché aritmetiky. Toto je hádanka, která vyžaduje přesnost. Jedno špatné číslo a celá symetrie se rozpadne.

Proč to potřebujeme? Protože tyto vzorce odhalují hluboké souvislosti v teorii čísel. Ukazují, že celá čísla se mohou chovat překvapivým, koordinovaným způsobem. Je to jako najít dvě úplně odlišné písně, které mají nějakým způsobem stejný rytmus a melodii.

Studium více stupňů nepřestává fascinovat. Je to specializovaný koutek matematiky, který se zdá téměř magický. A vše začíná jednoduchou otázkou: mohou být dvě různé skupiny čísel skutečně stejné ve více dimenzích?

Budování víceměstských měst od nuly

Začněte něčím triviálním. Jednoduchá rovnost, například 1 + 5 = 2 + 4. Sotva si zaslouží pozornost. Ke každému termínu pak přidejte pět. Matematika stále platí. 6 + 10 = 7 + 9.

Toto je semeno. Jednoduchá metoda formování multigradu začíná zde.

Ale to je jen příprava. Chcete-li přejít na multigrad druhého řádu, musíte změnit přístup. Vyměňte strany. Kombinujte je.

Vypadá to takto:

1 + 5 + 6 + 10 = 2 + 4 + 7 + 9

Čísla nelžou. Jsou vyvážené.

Podívejte se na chvíli do matematiky. Pokud vezmete určitou sadu čísel, součet jejich prvních mocnin ($S_1$) je přesně 22. Součet jejich druhých mocnin ($S_2$) vzroste na 156. To je těsná matematická „kapsa“.

Ale stačí trochu změnit situaci.

Ke každému číslu v této sadě přidejte 10. Najednou už neřešíte jen prosté sumy. Otevřete multicity třetího řádu.

To není jen aritmetická kuriozita. Jde o to, jak posun základní úrovně změní strukturální integritu číselné řady. Posunem celé sady o konstantní hodnotu zachováte rovnost součtů mocnin na obou stranách a zároveň zvýšíte pořadí identity.

jaký je výsledek? Složitější rovnice, která snese výpočty třetího stupně. Čísla se mění, ale rovnováha zůstává. A někdy, abychom odhalili hlubší vzorec, stačí ke každému termínu přidat deset.

Beyond Multidegrees: Podivný svět číselných divů

Pokud jste si mysleli, že jste ve standardních rovnicích součtu výkonu viděli všechno možné, podívejte se blíže. Matematika se nezastaví jen u několika proměnných. Točí se.

Podívejme se znovu na příklad. S 1 se rovná 84. S 2 se zvýší na 1,152. S 3? To je 17 766.

Můžeme pokračovat donekonečna. Vytváření více stupňů stále vyšších řádů. Konstrukce je zachována.

Zde je tajemství: vynásobte nebo vydělte každý výraz stejným číslem. Rovnost zůstává nezměněna. Je flexibilní.

Existují různé variace. Lze nalézt palindromické vícestupně. Čtou se stejně dopředu i dozadu. Nebo možná dáváte přednost prvočíslům. Je možné konstruovat vícestupňové sestávající výhradně z nich.

Mezi celými čísly se ale skrývají další zvláštnosti. Narcistická čísla.

Jedná se o čísla, která mohou být reprezentována pomocí určitých matematických manipulací s jejich číslicemi. Vezměme si celé číslo. Celé číslo. Uveďme každé číslo na n -tou mocninu. Pojďme je sečíst. Pokud se výsledek rovná původnímu číslu, našli jste dokonalý digitální invariant.

Podívejme se na 153.

1³ + 5³ + 3³ = 153.

Funguje to. Čísla jsou navýšena na sebe a sčítají se ke své původní hodnotě.

Pak je tu opakující se digitální invariant. Tvoří cyklus.

Svět zábavné matematiky miluje dobrý trik a digitální invarianty jsou životem party. Joseph Madachi ve své knize Matematika na dovolené poznamenává, že nejde jen o ojedinělé kuriozity. Přicházejí v různých variantách, které zabaví matematiky na celé hodiny.

Síla součtu čísel

Jeden konkrétní typ takových čísel je zvláště zajímavý. Toto je číslo, které se rovná n té mocnině součtu jeho číslic.

Přemýšlejte o tom takto. Vezměte si číslo. Sečtěte jeho čísla. Zvyšte výslednou sumu na určitou mocninu. Pokud se výsledek opět shoduje s původním číslem, našli jste shodu. Toto je smyčka. Digitální echo.

“Zvědavost je znázorněna číslem, které se rovná n -té mocnině součtu jeho číslic.”

To není jen nějaká náhodná vlastnost. Definuje určitou třídu celých čísel, která se chovají neobvykle při provádění základních aritmetických operací. Klíčovou proměnnou je zde „n“. Určuje stupeň exponentu. Změňte stupeň a číslo se obvykle již nebude řídit vzorem. Díky tomu je digitálně invariantní. Součet zůstává konstantní vzhledem k transformaci definované n.

Madachi zdůrazňuje tento fenomén, protože ukazuje, jak jednoduchá pravidla – sčítání čísel a jejich následné zvýšení na mocninu – mohou vést ke stabilním bodům. Tato čísla jsou zafixována proti chaosu výpočtů. Jsou vzácné. Ale existují. A jakmile jednoho najdete, začnete hledat další. Lov se stává hrou.

Pravděpodobně jste slyšeli o automorfních číslech. Jedná se o celá čísla, jejichž druhé mocniny končí stejnými číslicemi jako původní číslo. Vezměme 25. Druhá mocnina a dostaneme 625. Poslední dvě číslice? Stále 25. Zkuste 76. Druhá mocnina je 5776. Opět to končí na 76. Nejsou to jen náhodné náhody. To jsou matematické zvláštnosti, které působí téměř mysticky.

Pak jsou tu stegogramová čísla. Vypadají stejně, když je otočíte o 180 stupňů. Přemýšlejte o 69. Otočte to. To je 96. Počkejte, to není přesně to, co potřebujete, abyste „četli totéž“. Podívejme se na 96 otočené o 180 stupňů. Vypadá to jako 96 vzhůru nohama? Ne, ve skutečnosti se 6 změní v 9 a 9 se změní v 6. Takže 69 otočená o 180 stupňů vypadá jako 69? Ne, 69 otočená o 180 stupňů vypadá jako 69. Ano. A 96, otočené, vypadá jako 96. Také 1001. Otočte to. Stále 1001. Tyto vlastnosti naznačují, že čísla mají skryté osobnosti.

Výzva čtyř devítek

To nás přivádí do oblasti digitálních výzev. Nejznámější z nich je problém čtyř devítek. Můžete to znát jako “čtyři 9” nebo “čtyři 4” v závislosti na čísle. Cíl je jednoduchý, ale klamně složitý. Představte si co největší posloupnost celých čísel počínaje 1. Každé celé číslo musíte reprezentovat přesně čtyřmi stejnými číslicemi.

Ale tady je ten háček. Odpověď zcela závisí na provozních pravidlech, která smíte používat.

Pokud používáte pouze základní aritmetiku, sekvence rychle skončí. Musíte být kreativní. Faktoriály? Odmocniny? Desetinné čárky? Zřetězení? Každá povolená operace otevírá nové možnosti.

Podívejme se na dílčí příklady pro čtyři jednotky. Začíná to lehce.
1 = 1 + 1 – 1 – 1 (Ne, je to 0).
1 = 1 * 1 * 1 * 1.
2 = 1 + 1 + 1 – 1.

Omezení vás nutí přemýšlet mimo rámec. Jaké operace jsou povoleny? Je možné použít dvojitý faktoriál? Je možné zřetězit dvě jednotky do 11? Specifická pravidla mění celou krajinu skládačky.

Proč na pravidlech záleží

Existují různé verze této hádanky. Některé umožňují pouze +, -, *, /. Mezi další patří mocniny, logaritmy nebo funkce gama. Čím více nástrojů máte, tím vyšší čísla můžete získat. Není to jen matematika. Tady jde o hranice notace.

Stegogram a automorfní čísla jsou statické kuriozity. Jednoduše existují na číselné ose. Problém čtyř devítek je dynamický. Vyžaduje to akci. Vyžaduje to, abyste ohýbali pravidla prezentace.

Existuje důvod, proč tyto hádanky zůstávají relevantní. Oslovují tu část mozku, která ráda rozpoznává vzory v přísných mezích. Toto je hra omezení. Čím více omezujete čísla, tím více musíte rozšířit své chápání toho, co je možné.

Zdá se vám mystika automorfních čísel uspokojující? Nebo aktivní

Myslíte si, že jste prolomili kód pomocí čtyř čtyřek? Přehodnoťte své myšlenky.

Původní seznam z článku M. Bicknella a W. Hogatta z roku 1964 v Recreational Mathematics Magazine byl jen špičkou ledovce. Ukázali jeden způsob, jak dosáhnout šedesáti čtyř cílů. Ale skutečná radost spočívá v alternativních řešeních.

Vezměme si číslo sedm. Standardní přístup může používat sčítání a odmocniny. Stejně snadno ale můžete použít faktoriály. Nebo rozdělení.

Zvažte toto:

7 = 4 + √4 + 4/4

Funguje to. Ale funguje i toto:

7 = 4!/4 + 4/4

A tady je další obrat:

7 = 44/4 – 4

Symbol faktoriálu (!) zde působí jako žolík. Promění prvočíslo na součin všech celých čísel, která k němu vedou. Takže 4! je jednoduše 4 x 3 x 2 x 1. To vám dává 24. Najednou máte ve svém panelu nástrojů nové nástroje.

Co se stane bez faktoriálů?

Pokud z pravidel vyřadíte faktoriály, hru neprohrajete. Jen si zkracujete pole.

Stále můžete vyjádřit každé celé číslo od jedné do dvaadvaceti pomocí čtyř čtyřek. To vyžaduje kreativitu s desetinnými místy a kořeny.

Podívejte se na dvaadvacet. Bez faktoriálů se spoléháte na desetinnou čárku a druhou odmocninu.

22 = (4 + 4) / 0,4 + √4

Desetinný zlomek 0,4 je v podstatě roven 0,4. Vydělením 8 0,4 získáte 20. Přidejte druhou odmocninu ze 4 (což jsou 2) a máte hotovo. Není to hezké. Je to ošemetné. Funguje to.

Ale co když pravidla znovu rozšíříme? Příležitosti explodují. Již nejste omezeni na základní algebru. Operace můžete překrývat jedna přes druhou. Můžete je řetězit.

Další úroveň: sekvenční celá čísla

S hlavolamem čtyřek souvisí problém. Převrací scénář.

Místo čtyřnásobného použití stejné číslice použijete prvních m kladných celých čísel. Pravidlo je jednoduché: m musí být větší než tři.

Používáte symboly elementární algebry. Uspořádáte čísla 1, 2, 3 a 4.

Tím se úkol změní z opakování na konzistenci. Nemůžete jen tak přidat čtyřky. Musíte vetkat 1, 2, 3 a 4 do funkční rovnice.

Je to jiný druh mentální gymnastiky. A to teprve začíná.

Existuje více než 100 způsobů, jak uspořádat čísla 1 až 9 tak, aby jejich součet byl přesně 100. Ale to není ani to nejtěžší. Tyto hádanky vyžadují duševní úsilí. K jejich vyřešení nepotřebujete pokročilou matematiku.

Počátky kryptoaritmetiky

Termín „kryptoaritmetika“ se objevil v roce 1931. Vše začalo problémem násobení publikovaným v belgickém časopise Sphinx. Tato publikace byla známá svými hlavolamy.

„Kryptoaritmetika“ byla představena v roce 1931, když se v belgickém časopise Sphinx objevil následující problém násobení

Úkol vypadal jednoduše. Byla to jen písmena představující čísla. Řešení vypadalo jako vyřešení kódu. Vyžaduje vysokou vynalézavost. Samotná aritmetika je minimální. Hledáte vzory. Splňujete omezení.

Tyto hádanky mají mnoho variant. Někteří vás žádají o zjištění částky. V ostatních – dílo. Cíl je vždy stejný: najít skryté číslo za každým písmenem. Toto je logická hra, ne test výpočetních schopností.

Kryptoaritmetické problémy jsou matematické hádanky, ve kterých jsou čísla nahrazena písmeny nebo symboly. Většina z nich je založena na základních operacích: sčítání, odčítání, násobení nebo dělení. Jejich řešení vyžaduje logiku, ne hádání.

Proces začíná analýzou. Vezměme si jednoduchý příklad. Uvažujete o dílčích pracích. Jestliže D × A se rovná D, pak A se musí rovnat 1. To je nesporný fakt.

Dále se podívejte na C. Jestliže D × C a E × C oba končí C, pak C se obvykle rovná 5. Nula je vhodná, pokud jsou obě číslice sudé. Pět je v pořádku, pokud jsou oba liché. Zde C = 5.

Nyní o D a E. Měly by být liché. Ale ne 9, protože dílčí produkty mají pouze tři číslice. Jsou tedy rovny 3 nebo 7. Která je která?

Zkontrolujte B. Je-li D × B jednomístné číslo, pak B musí být malé. Je-li E × B dvouciferné číslo, pak E je větší. Proto E = 7 a D = 3.

B nemůže být nula. Zbývají pouze 2. Takže B = 2.

Dokončete své výpočty. F = 8. G = 6. H = 4. Odpověď: 125 × 37 = 4 625.

Tato analýza je založena na knize 150 Puzzles in Crypt-Arithmetic od Maxie Brooke. Dover ji publikoval v roce 1963. Z nějakého důvodu zůstává klasikou.

Analýza úkolu ODESLAT + VÍCE = PENÍZE

Tyto hádanky jsou starší než kniha Brooke. Někdy se dokonce nacházejí ve zdrojích, které záznamům předcházejí. Specifickým typem takových problémů jsou abecední šifry (alfametické). Písmena tvoří skutečná slova. Jednou z nejstarších a nejznámějších je ODESLAT + VÍCE = PENÍZE.

Je to jednoduchá rovnice. Ale je to klamně složité.

S = 9, E = 5, N = 6, D = 7, M = 1, O = 0, R = 8, Y = 2.

9567 + 1085 = 10 652.

Zkontrolujte matematiku. Všechno do sebe zapadá. Každé písmeno má jedinečné číslo. Nejsou žádné úvodní nuly. M nemůže být nula. S nemůže být nula. Omezení se rychle zpřísňují.

Proč je tato hádanka stále aktuální? Je stručná. Používá běžná slova. Připomíná mi kód. Neděláte jen aritmetiku. Rozluštíte zprávu.

Existují další alfametika. KŘÍŽ + RŮŽE = ARSENIK. JÍST + TO = DORT. Liší se obtížností. Některé jsou triviální. Jiné vyžadují hodiny práce. Logika je však stejná. Najděte kotevní body. Číslo, které diktuje jiné. Přenos, který porušuje vzor.

Lidé je řeší i dnes. Nejen kvůli matematice. Kvůli spokojenosti. Okamžik, kdy se všechny kousky spojí. Když je skryté slovo odhaleno. Toto je mentální trénink. Krátký. Jasný. Uspokojující.

Hádanka nekončí odpovědí. Končí to pochopením. Jak se písmena vzájemně ovlivňují. Jak se chovají čísla. Je to malý svět. Soběstačný. Logický.

A přesto. Znovu se s ní setkáte. V časopise. Na fóru. Ve třídě. Stejná logika. Jiná slova. Jiná čísla. Stejné vzrušení.

Existuje nějaká hranice, jak složité mohou být?

Standardní pravidla pro abecední aritmetické problémy (alphametic) jsou přísná. První písmeno žádného slova nemůže být nula. Dvě různá písmena nemohou představovat stejné číslo. Porušení těchto pravidel vyžaduje zvláštní instrukce k ospravedlnění vyloučení. Některé hádanky jsou tak husté, že umožňují více řešení. Počítače se s těmito složitostmi vyrovnávají.

Past falešné logiky

Matematici studovali paradoxy a bludy po staletí. Paradox vás nutí zastavit. Logika je bezchybná. Každý krok je správný. Závěr je však tak zvláštní, že tomu odmítáte uvěřit. Je to kontraintuitivní. Vypadá to špatně.

Klam (logický omyl) je něco jiného. To je chyba. Chybné uvažování vede k výsledku, který je zjevně absurdní. Chyba obvykle porušuje jeden ze základních principů matematiky nebo logiky. Nováčci do toho často spadnou. Nevšimnou si skryté pasti. Pokud nevíte, které pravidlo je porušeno, chyba zůstane bez povšimnutí.

Pak jsou tu sofistika. Chyba je záměrná. Vyrobeno záměrně. Z určitého důvodu. Co když chybný výpočet náhodou povede ke správné odpovědi? Tomu se říká „šťastná chyba“ (hulák). Je to umění udělat správnou chybu.

Nekonečno vytváří mnoho problémů. Limitní procesy dávají vzniknout paradoxům. Vezměme si nekonečnou řadu.

Nekonečný součet, který nikdy nedosáhne 2

Máte sérii, která se neustále rozrůstá. Čím více výrazů k součtu přidáte, tím vyšší bude součet. Je to nepřetržité, neúprosné stoupání. Ale tady je háček: součet ve skutečnosti nikdy nedosáhne 2. Zůstává přísně pod touto horní hranicí.

Jen se přibližuje. A už se to blíží. A už se to blíží.

Představte si, že běžíte ke zdi. Urazíte polovinu vzdálenosti, pak polovinu zbývající vzdálenosti a pak znovu polovinu. Vždy se posouváte vpřed. Vždy se přiblížíte svému cíli. Ale nikdy se toho nedotkneš. Toto chování je typické pro konvergentní řady. Zejména výše ohraničené číslem 2.

“Součet vždy zůstává menší než 2, i když se přibližuje a přibližuje 2, jak je zahrnuto více členů řady.”

To není jen matematický trik. Toto je základní koncept v matematické analýze. Je to o limitech. Nehledáme konečné číslo, protože neexistuje. Studujeme chování funkce, když počet členů tíhne k nekonečnu.

Proč je to pro popkulturní matematiku důležité

Dobře, možná vás nezajímá konvergence řad. Tato logika ale platí pro všechno. Přemýšlejte o zobrazeních ve streamovacích službách. Sledovanost pořadu může růst každý týden. Tempa růstu se zpomalují. Hodnota se blíží bodu nasycení. Tohoto teoretického maxima ale nikdy nedosáhne. Zůstává o něco níže.

Nebo se zamyslete nad účtenkami. Film vydělává každým týdnem víc a víc. Tempa růstu klesají. Součet se pomalu blíží ke konečnému číslu. Ale dokud se neprodá poslední vstupenka, jde vždy o hodnocení. Omezit.

Stejná pravidla platí pro počet sledujících, které má celebrita. Každým dnem si získávají více fanoušků. Ale účet nikdy skutečně nepřestane růst, dokud je člověk naživu a aktivní. I tak je historický součet momentem. Okamžik v čase.

Další řada

Na druhou stranu řada…

No, text se přeruší. Ale obvykle v takových srovnáních je „odlišná řada“ divergentní řadou. Ten, kdo se nestará o limity. Takový, který stále roste. Navždy. Žádný strop. Bez zdi.

Prostě nekonečné rozšiřování.

Co je děsivější? Něco, čeho nikdy nebudete schopni dosáhnout? Nebo něco, co nikdy nepřestane přicházet?

Matematika vždy milovala nečekané dějové zvraty. Myslíte si, že všemu rozumíte? Přemýšlejte znovu. Vezměte si sérii známou jako Divergent: No Limit. Pokud budete neustále přidávat členy, částka jen tak neroste. Ta vybuchne. Stává se větší než jakákoliv hodnota, kterou byste si mohli vybrat. Tohle je vlak bez brzd, řítí se vpřed.

Pak je tu paradox sudých čísel. Toto je hádanka, která nabourá vaši intuici.

Sudých přirozených čísel je tolik, kolik je dohromady sudých a lichých čísel.

Přemýšlejte o tom.

Množina sudých čísel je podmnožinou všech přirozených čísel. V našem konečném světě je celek vždy větší než jeho části. Nemůžete mít 5 jablek a mít stále stejný počet jablek, pokud počítáte pouze červená. Ale nekonečno? Infinity se nestará o vaše pravidla.

Tento rozpor není chyba. To je vlastnost nekonečných množin.

Protože jsou obě množiny nekonečné, jsou si rovny z praktického i matematického hlediska.

To se nezdá správné. Tohle nevypadá správně. Ale matematicky, pokud můžete spojit každý prvek jedné sady s jedinečným prvkem jiné sady, budou mít stejnou velikost. Můžete vytvořit vzájemnou shodu mezi přirozenými čísly (1, 2, 3…) a sudými čísly (2, 4, 6…). Žádné zbytky. Žádné mezery.

Celek zde není víc než jeho části. Díly jsou celek.

Tady lidská logika naráží na zeď. Vyvinuli jsme se tak, abychom počítali bobule a zjišťovali dravce, ne abychom se pohybovali v abstraktních hlubinách nekonečných množin. Když máte co do činění s nekonečným počtem objektů, rovnost ustupuje do pozadí.

Je to tedy paradox? Technicky ano. Je to v rozporu s prastarou myšlenkou, že celek je větší než kterákoli z jeho částí. Ale tento rozpor vzniká pouze tehdy, když trváte na aplikaci konečných pravidel na nekonečné plátno.

Jakmile přijmete fakt, že se nekonečno chová jinak, „rozpor“ zmizí. Je to jen jiný druh rovnosti.

Proč vám na tom záleží? To není jen akademický žargon. To je základ matematické analýzy, porozumění rychlosti změn, toho, jak modelujeme vesmír. Bez pochopení, že některé věci se v tradičním slova smyslu nesčítají, je moderní fyzika ponechána v bahně.

Ale stejně je to divné.

V dělení segmentu na polovinu můžete pokračovat neomezeně dlouho. Nikdy nedojdete na konec. Nikdy neskončíš. A přesto se tam dostanete.

Jak to sladíte s tím, jak se pohybujete světem? Nesmiřujete se. Stačí přijmout matematiku a jít dál.

Zenón z Eleje vůbec nevěřil, že Achilles želvu nikdy nedohoní. Prostě miloval logické pasti.

Kolem roku 450 př. n. l. formuloval čtyři argumenty, které měly zmást vaši mysl. Pointa je jednoduchá: Achilles běží s želvou. Želva má náskok. Zeno tvrdí, že ji Achilles nikdy nepředběhne. Proč? Protože než se dostane tam, kde želva byla, už se přestěhovala na nové místo. Pak ještě jeden. A ještě jedna věc. Nekonečný počet kroků. Žádná cílová čára.

To je sofistika. Trik. Zeno věděl, že jeho úvahy byly špatné. Jeho cílem nebylo dokázat nemožnost pohybu. Snažil se identifikovat nedostatky v našem chápání prostoru a času.

Další tři paradoxy se dotýkají podobných myšlenek. Paradox dialektiky říká, že pohyb nemůže ani začít. Nejprve musíte překonat polovinu vzdálenosti, pak polovinu zbývající a tak dále do nekonečna. Arrow Paradox dokazuje, že v každém daném okamžiku je letící šíp ve skutečnosti nehybný. Pokud se čas skládá z okamžiků a v každém z nich je šipka v klidu, pak se nikdy nepohne. Pak je tu Paradox stadionu, který zkresluje naše vnímání časových intervalů. Předpokládá, že krátký časový úsek se rovná dlouhému. Jen abych tě zmátl.

Nebyly to jen hry se slovy. Zkoumali hranice limitů a nekonečna. Pojmy tak kluzké, že zůstaly nevyřešené po tisíce let. Teprve v 19. století je matematika dokázala dohnat. Objevila se důsledná analýza. Teorie transfinitních čísel byla podložena. Teprve pak jsme mohli náležitě vysvětlit, proč Zenónův nekonečný počet kroků ve skutečnosti nezabránil Achilleovi ve vítězství v závodě.

Ale změňme téma. Přesuňme se ze starověkého Řecka k hodinám algebry na střední škole.

Běžné algebraické chyby spoléhají na podobné principy skrytých pastí. Obvykle porušují jeden nebo více z těchto základních předpokladů:

Vše začíná jednoduchým protikladem. Myslíte si, že řešíte algebru. Vlastně ne. Postavíte dům z karet uprostřed hurikánu.

Vezměme proměnnou a. A proměnná b. Standardní věci. Pak se ale pravidla pokřiví. Najednou musí být a větší než b. A zároveň méně b. Ve stejnou dobu. To není jen omyl. To je nemožné. To je porušení základní reality. Nemůžete být zároveň nad a pod čarou.

Toto je první příklad logického omylu. Čistá, tvrdá přestávka.

A pak je tu druhý druh chyby. Špinavý. “Šťastná erekce.”

Ne, to není překlep. To je termín. Označuje nelegální operaci. Máš štěstí. Náhodou narazíte na výsledek, který vypadá dobře, ale je zásadně špatný. Tohle je hackování. Řešení, které nezadržuje vodu. Neřešíte rovnici. Předstíráte rozhodnutí.

A budete vědět, že je falešný, protože ve zkoušce neobstojí. Čísla se nebudou sčítat. Logika se zhroutí. Stejně jako a nemůže být větší i menší než b.

Nejsou to jen překlepy. Jedná se o konstrukční poruchy. Pokud na nich stavíte, všechno se zhroutí.

Posedlost Pythagorejců čísly ve tvaru

Čísla nejsou jen abstraktní symboly. U Pythagorejců, kteří žili kolem roku 500 př.n.l. e. měli charakter. Měli tvar.

Tento zájem nebyl ničím novým. Starověcí čínští učenci pravděpodobně věděli o těchto konceptech. V 15. století se již objevovaly v aritmetických knihách. Ale staří Řekové šli ještě dál. Věřili, že vše lze vysvětlit pomocí čísel. A tato čísla měla určité vlastnosti.

To vedlo k objevu polygonálních čísel. Také známá jako figurovaná čísla představují množství uspořádaná do geometrických tvarů. Dnes se koncept zdá jednoduchý. Ale pak se to stalo zjevením.

Čísla byla obdařena určitými vlastnostmi a charakterem.

Vezměme trojúhelník. Toto je nejjednodušší obrázek. První trojúhelníkové číslo je 1. Druhé je 3. Třetí je 6. Pak 10. Pak 15. Pak 21.

Představte si to.

Tečky nebo tečky uspořádané do tvaru trojúhelníku.

Toto není jen seznam. Toto je vizuální vzor.

Ale proč to bylo pro Pythagora a jeho následovníky tak důležité?

Protože viděli vesmír jako matematický. Pokud dokážete přiřadit číslo k fyzické podobě, našli jste část pravdy. Nebylo to jen o počítání. Bylo to o struktuře.

Tato myšlenka stimulovala výzkum po staletí. Matematici nezůstali jen u trojúhelníků. Hledali čtverce. pětiúhelníky. Šestiúhelníky. Každá postava odhalila nové vztahy.

Pythagorejci pochopili, že čísla mají „tvar“.

Tento objev změnil způsob, jakým přemýšlíme o aritmetice. Nešlo jen o sčítání a násobení. Bylo to o geometrii.

A všechno to začalo tečkami.

Když se pozorně podíváte na posloupnost trojúhelníkových čísel – 1, 3, 6, 10 – možná objevíte skrytý geometrický vzor, který vysvětluje, proč jsou čtverce v přírodě a matematice tak běžné. Toto spojení není náhodné. Je to strukturální.

Čtvercová čísla, což jsou druhé mocniny přirozených čísel, jako jsou 1, 4, 9, 16 a 25, mají vizuální znázornění. Mohou být uspořádány do dokonalých čtvercových polí teček. Tento vizuální důkaz je často demonstrován v úvodních kurzech geometrie, ale hlubší souvislost leží jinde.

Vztah mezi trojúhelníky a čtverci

Skutečné kouzlo se stane, když spojíte sousední trojúhelníková čísla. Vezměte první dvě trojúhelníková čísla: 1 a 3. Sečtěte je. Výsledek je 4. Toto je čtvercové číslo.

Nyní zkuste další pár. Druhé trojúhelníkové číslo je 3. Třetí je 6. Sečtěte je. Dostanete 9. Další čtvercové číslo.

To není náhoda. Součet libovolných dvou sousedních trojúhelníkových čísel je vždy roven čtvercovému číslu.

“Součet jakýchkoli dvou sousedních trojúhelníkových čísel je vždy číslo čtvercové.”

Tato geometrická pravda vysvětluje, proč jsou čtverce v počítacích systémech tak běžné. Nejde jen o kvadraturu proměnné. Jde o překrývání tvarů. Pokud tečky uspořádáte do trojúhelníku a pak k nim přiložíte další, o něco větší trojúhelník, dokonale do sebe zapadnou a vytvoří větší čtverec.

Tato vlastnost přímo spojuje teorii čísel s vizuálním prostorem. Proměňuje abstraktní aritmetiku ve fyzickou hádanku. Abyste to viděli, nepotřebujete kalkulačku. Stačí si to nakreslit.

Proto se k těmto základním formám stále vracíme. Jsou stavebními kameny všeho ostatního.

Proč jsou obdélníková čísla důležitá v matematice popkultury

Obdélníková čísla zmiňovaná v každém filmovém scénáři často neslyšíte, ale skrývají se na očích, pokud jde o sítě, pole nebo dokonce jen základní geometrii. Představte si je jako pravoúhlé příbuzné trojúhelníkových čísel. Nejsou to jen abstraktní pojmy. Jedná se o specifická celá čísla představující body umístěné v obdélníku, kde jedna strana je přesně jedna delší než druhá.

Sekvence začíná malými čísly: 2, 6, 12, 20, 30. Vše je docela jednoduché. Ale podívejte se blíže. Každé číslo je součinem dvou po sobě jdoucích celých čísel. 1 krát 2 se rovná 2. 2 krát 3 se rovná 6. 3 krát 4 se rovná 12. Je to vzor, ​​který se opakuje s mechanickou přesností.

“Obdélníková čísla se tvoří zdvojnásobením libovolného trojúhelníkového čísla.”

Toto spojení je klíčové. Pokud vezmete trojúhelníkové číslo – například 1, 3, 6, 10 – a zdvojnásobíte jej, dostanete obdélníkové číslo. 1 zdvojnásobení znamená 2. 3 zdvojnásobení dává 6. 6 zdvojnásobení znamená 12. Matematika to potvrzuje. Toto je přímé spojení mezi dvěma základními postavami v teorii čísel.

Někteří se mohou ptát, proč na tom záleží mimo učebnici. Vlastně ne. Ale je zábavné vědět, že 20 není jen náhodný věk nebo rok. To je 4 krát 5. To je také 2 plus 4 plus 6 plus 8. Součet prvních čtyř sudých čísel. Toto je druhý způsob, jak tyto postavy sestavit. Můžete násobit po sobě jdoucí dvojice nebo sčítat sudá čísla. Obě cesty vedou ke stejnému obdélníkovému výsledku.

Není to jen o tečkách na stránce. Jde o strukturu. Obdélníky všude – od poměrů stran filmového plátna po rozvržení tabulek – spoléhají na tento typ proporcionálního myšlení. Obdélníková čísla jsou matematickým rámcem pro tento podíl. Jsou skrytým řádem za chaosem každodenních forem.

Geometrie lichých čísel

Představte si gnómona jako geometrickou postavu ve tvaru L. Není to jen náhodná křivka. Odráží pravý úhel tesařského čtverce. Pythagorejci používali tyto figurky nejen k dekoraci. Viděli je jako stavební kameny.

Matematika je překvapivě jednoduchá, jakmile pochopíte vzorec.

Začněte malým čtvercem. Přidejte gnomona. Vznikne vám větší čtverec. Čísla se řídí přísným rytmem. Čtverce můžete stavět překrýváním těchto figurek na menší. To jim umožnilo odvodit složité vztahy bez použití moderní algebry.

Uvažujme posloupnost čtverců.

• 1 na druhou plus 3 se rovná 2 na druhou
• 2 na druhou plus 5 se rovná 3 na druhou
• 3 na druhou plus 7 se rovná 4 na druhou

Je to řetězová reakce. Ale je i jiný způsob, jak se na to dívat.

Můžete sečíst po sobě jdoucí lichá čísla a získat dokonalý čtverec.

• 1 plus 3 se rovná 3 na druhou
• 1 plus 3 plus 5 se rovná 4 na druhou
• 1 plus 3 plus 5 plus 7 se rovná 5 na druhou
• 1 plus 3 plus 5 plus 7 plus 9 se rovná 6 na druhou

Seznam pokračuje. Je to elegantní. Je to čisté.

Tato zvláštní vlastnost gnómonů v pythagorejské matematice pravděpodobně vyvolala objev nejslavnější věty v historii. Nebylo to náhodou, že Pythagoras objevil vztah mezi stranami pravoúhlého trojúhelníku. Přemýšlel o čtvercových číslech.

Všiml si, že přidáním lichého čtverce k sudému čtverci může vzniknout třetí čtverec. Vizuální důkaz byl přímo před ním ve tvaru L.

a na druhou plus b na druhou se rovná c na druhou.

Geometrie vysvětlila algebru. Nebo spíše geometrie byla algebra. Neměli symboly pro proměnné. Měli postavy. A tato čísla vyprávěla příběh o číslech.

Proč to byl tak velký problém? Protože spojovalo sčítání s násobením. Spojovala linie s oblastmi. Z abstraktní kalkulace se stal hmatatelný prostor.

Gnómon byl klíč. Otevřelo to dveře k pochopení toho, jak čísla rostou. Jak se k sobě hodí? Jak vytvářejí strukturu z chaosu.

Je zvláštní si myslet, že tak jednoduchý tvar L má tolik síly. Ale na druhou stranu právě v jednoduchosti se často skrývají ty nejhlubší pravdy.

Matematika je zde překvapivě specifická. Uvažujeme případ, kdy $a^2 + b^2 = c^2$, ale s jednou výhradou: $a^2$ se rovná $b + c$. Toto je úzký výklenek pythagorejských trojic. Řekové se však neomezovali pouze na pravoúhlé trojúhelníky. Obsesivně studovali tvary. Pětiúhelníková čísla. Hexagonální čísla. Geometrické vzory přímo mapovali do algebry. To nebylo abstraktní umění. Byla to aritmetika s hranami.

Tato čísla patří do širší třídy figurovaných čísel. Polygonální čísla jsou jen jednou z podtříd. Seznam začíná jednoduchými aritmetickými posloupnostmi, ale vzor přetrvává.

Součty těchto řad netvoří jednoduché aritmetické posloupnosti. Vytvářejí více strukturované objekty. Výsledkem jsou polygonální čísla. Zejména trojúhelníková a čtvercová čísla. Ale matematika není omezena na dvě dimenze.

Od mnohoúhelníků k pyramidám

Pokud tyto sekvence znovu přidáme, přesuneme se do trojrozměrného prostoru. Výsledkem budou složená čísla. Říkáme jim pyramidová čísla.

Nejde jen o historickou kuriozitu. Tato čísla přímo souvisí s moderní teorií čísel. Dokonce i základní vlastnosti celých čísel mohou vyžadovat vysvětlení složité matematiky.

Zvažte toto pravidlo. Každé celé číslo spadá do jedné ze tří kategorií. je to:

1. Trojúhelníkové číslo.
2. Součet dvou trojúhelníkových čísel.
3. Součet tří trojúhelníkových čísel.

Důkaz je elegantní, ale složitý. Zde je návod, jak to vypadá v praxi.

“8 = 1 + 1 + 6”
“42 = 6 + 36”
“43 = 15 + 28”
“44 = 6 + 10 + 28”

Čtyři rovná se šest. Zastávka. Ne. Čtrnáct se rovná šest plus osm. Jedná se o dva trojúhelníky. Ale čtyřicet čtyři vyžaduje tři. Šest plus deset plus dvacet osm.

Pythagorejská trojčata

Přejděme od součtů ke čtvercům. Pythagorova věta otevírá dveře, o kterých jste nevěděli, že existují. Pythagorejská trojice je vytvořena ze stran pravoúhlého trojúhelníku s délkami stran, které jsou celá čísla.

Najděte tři kladná celá čísla a, b a c taková, že:

a ² + b ² = c ²

Pokud tato čísla nemají jiného společného dělitele než 1, tvoří primární pythagorejskou trojici. Vzájemně prvočísla. Toto je klíčové omezení.

Potřebujeme způsob, jak je všechny vygenerovat. Není snadné najít jeden nebo dva. Vše možné.

Existuje vzorec. Funguje při generování všech primárních pythagorejských trojic.

Pokud m a n jsou kladná celá čísla, takže m > n a m a n jsou koprimé a jedno z nich je sudé a druhé liché, pak:

a = m ² – n ²
b = 2m n
c = m² + n*²

Zkuste m = 2, n = 1.

a = 4 – 1 = 3
b = 2(2)(1) = 4
c = 4 + 1 = 5

3, 4, 5. Klasická trojka.

Zkuste m = 3, n = 2.

a = 9 – 4 = 5
b = 2(3)(2) = 12
c = 9 + 4 = 13

5, 12, 13.

Zdá se to dost jednoduché, dokud se nepokusíte dokázat, že tento vzorec pokrývá všechny možné případy bez duplikátů. Podmínky pro m a n jsou přísné. Filtrují neprimitivní množiny. Poskytují status prvenství.

Proč se staráme o generátory? Protože jakmile získáte generátor, získáte strukturu. Cestu můžete sledovat k libovolným třem.

Vzorec pro generování takových trojic je založen na výběru dvou konkrétních celých čísel p a q a striktním dodržování určitých pravidel. Zde nestačí jednoduše vzít libovolná dvě čísla. Musíte být opatrní.

První pravidlo říká, že p a q musí být relativně prvočísla. To znamená, že nemají žádného společného dělitele kromě jednoho. Druhé pravidlo je ještě konkrétnější: obě nemohou být sudé a obě nemohou být liché. To nutí jedno z čísel být sudé a druhé liché. Nakonec musíte zvolit p, aby bylo větší než q.

Když jsou všechny tyto podmínky splněny, matematika se spojí do jediného obrázku.

Proč je při generování trojic důležitá parita

Požadavek na různé parity (jedna sudá, druhá lichá) není libovolný. Pokud by p a q byly obě liché, druhé mocniny těchto čísel by daly dohromady součet dělitelný 4, což by vedlo k trojnásobku se všemi stranami se společným faktorem 2. To porušuje “primitivní” podmínku. Totéž se stane, pokud jsou oba sudé, protože v tomto případě můžete jednoduše zrušit všechny dvojky.

Tím, že vynutíte sudé jedno číslo a liché druhé, zajistíte, že strany výsledku nebudou mít společného dělitele. Výsledkem je primitivní pythagorejská trojka.

Příklady generovaných trojic

Správná volba p a q dává klasické množiny. Pokud například zvolíte p = 2 a q = 1:

• První strana je rovna $p^2 – q^2 = 3$
• Druhá strana se rovná $2pq = 4$
• Přepona je rovna $p^2 + q^2 = 5$

Získáte trojúhelník 3-4-5. Toto je nejjednodušší možnost. Všichni ho znají. Ale funguje to, protože 2 a 1 jsou coprime a mají různé parity.

Zkuste p = 3 a q = 2.

• Strana A: 9 USD – 4 = 5 USD
• Strana B: $2(3)(2) = $12
• Přepona: $9 + 4 = $13

To vám dává tři 5-12-13. Další primitivní sada.

Vzor je zachován. Stačí najít takové dvojice relativně prvočísel s různými paritami a geometrie se vám sama odhalí.

Možná si myslíte, že primitivní pythagorejské trojice jsou roztroušeny náhodně podél číselné osy, ale není tomu tak. Existuje pouze jeden případ, kdy tři po sobě jdoucí celá čísla tvoří takovou trojici. Toto je klasická sada 3, 4, 5. Nic víc.

Jakmile se dostanete za jednu výjimku, pravidla začnou být zajímavá. I ve standardní primitivní trojici, kde a a b jsou nohy a c je přepona, vždy platí určitá omezení modulární aritmetiky. Na to se můžete spolehnout.

Dělitelné 3, 4 a 5

Jedna ze stran, buď a nebo b, je vždy dělitelná 3. Druhá strana je vždy dělitelná 4. A když se podíváte na všechny tři strany, jedna z nich je vždy dělitelná 5. To není jen náhoda pro malá čísla. Toto je strukturální pravidlo.

Z tohoto důvodu je součin tří stran (abc ) vždy dělitelný 60. Jedná se o čistý, předvídatelný vzor v oblasti, která se často zdá chaotická.

Číslo 7

Pak přijde 7. Tady se věci trochu zkomplikují. Jedna z následujících hodnot musí být dělitelná 7:
a*
b
a + b
a – b*

Ne vždy jde o samotné strany. Někdy je to součet nebo rozdíl. Ale 7 se vždy objeví v jedné z těchto forem.

Existuje také vzorec, který generuje platné pythagorejské trojice pro jakékoli celé číslo n. Pokud do něj vložíte číslo, získáte:
1. 2n + 1
2. 2n ² + 2n
3. 2n ² + 2n + 1

Vždy tvoří pravoúhlý trojúhelník. Jedná se o spolehlivý způsob generování trojic, aniž byste si museli pamatovat seznamy.

Omezení starověkého Řecka

Řekové to věděli dávno předtím, než jsme měli kalkulačky. Věděli, že přepona primitivní trojky je vždy liché celé číslo. Neměli úplný moderní důkaz, ale měli intuici.

Dnes máme přesný stav. Liché celé číslo R slouží jako přepona primitivní trojice právě tehdy, když každý prvočinitel R je ve tvaru 4k + 1. To omezuje lichá čísla, která se na této pozici mohou vůbec objevit. Tím se okamžitě odřízne polovina lichých čísel.

Dokonalá čísla a Mersennova prvočísla

Většina celých čísel je buď hojná, nebo vzácná. Rozdíl je jednoduchý. Hojné číslo má své vlastní dělitele (vyjma čísla samotného), jejichž součet je větší než samotné číslo. Součet vlastních dělitelů nedostatečného čísla je menší.

Dokonalé číslo je přesně uprostřed. Je rovna součtu vlastních dělitelů.

Vezměte 24. Jeho dělitelé (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12) dávají dohromady 36. Je hojný.
Vezměte 32. Součet jeho vlastních dělitelů je 31. To nestačí.

Pak přijde 6. 1 + 2 + 3 = 6. Perfektní.
Pak 28. 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28. Také perfektní.

Další dva jsou 496 a 8 128. Staří znali první čtyři. Nevěděli, jestli seznam pokračuje věčně, nebo jestli má další číslo milion číslic.

Euclid a Euler

Euklides vyslovil hypotézu. Předpokládal, že čísla ve tvaru 2n -1(2n -1) jsou dokonalá, za předpokladu, že 2n -1 je prvočíslo. Měl pravdu o generaci, ale neprokázal, že to byl jediný způsob.

Tento důkaz přišel mnohem později. V 18. století Leonhard Euler ukázal, že každé sudé dokonalé číslo musí odpovídat Euklidovu vzorci. Pokud tedy hledáte sudé dokonalé číslo, stačí se podívat mezi prvočísla Mersenne.

Mersennovo číslo je libovolné číslo ve tvaru 2n -1, pojmenované po Marinu Mersennovi. Mohou být jednoduché nebo složené. Aby 2n -1 bylo prvočíslo, musí být prvočíslo i samotné n. To je podmínka nutná, i když ne dostačující. To, že n je prvočíslo, neznamená, že 2n -1 je také prvočíslo. Ale pokud 2n -1 je prvočíslo, pak n musí být prvočíslo.

Vznikne tak vzájemná korespondence. Každé Mersennovo prvočíslo generuje sudé dokonalé číslo. Každé sudé dokonalé číslo pochází z Mersennova prvočísla.

Hledej obry

Před věkem počítačů bylo hledání těchto čísel ručním úkolem. Dlouhou dobu bylo známo pouze 12 dokonalých čísel. Edouard Lucas pak v roce 1876 navrhl test primality pro Mersennova čísla.

Raphael M. Robinson použil tento test a provedl jej na raných elektronických digitálních počítačích. V roce 1952 našel Mersennova prvočísla pro hodnoty n 521, 607,

Králičí problém, který to všechno začal

Je snadné zapomenout, že Fibonacciho sekvence se neobjevila v hodině informatiky. Začalo to knihou. V roce 1202 vydal Leonado z Pisy, známější pod přezdívkou Fibonacci, knihu Liber abaci. Nebyla to jen suchá výuka matematiky. Znamenalo to zlomový bod pro evropský obchod, když se na kontinent, který stále používal římské číslice, zavedly indoarabské číslice. Ale uvnitř tohoto vážného finančního textu byla skryta malá legrační záhada o reprodukci králíků.

Otázka byla dostatečně jednoduchá na to, aby se dala vysvětlit při večeři. Představte si, že začínáte s jedním párem králíků. Každý měsíc tento pár vytvoří nový pár. Zde je háček: novorozenci se začnou rozmnožovat až ve dvou měsících. Takže v prvním měsíci máte jeden pár. Ve druhém – původní pár plus jejich potomci. Ve třetím rodí původní pár další vrh a první potomek je nyní dost starý na to, aby měl vlastní.

Proveďte výpočty. Není to těžké. Získáte určitou posloupnost čísel, která se neustále nachází v přírodě, kódu a umění.

Jak se sekvence vyvíjí

Podívejme se na pokrok. Je rekurzivní, což je složitý způsob, jak říci, že každé číslo je součtem předchozích dvou.

• Měsíc 1: 1 pár (originál)
• 2. měsíc: 2 páry (původní plus první potomek)
• 3. měsíc: 3 páry (původní, první potomek, druhý potomek)
• 4. měsíc: 5 párů

Sekvence vypadá takto: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 a tak dále. Je čistá. Je logická. A je všude, jakmile víte, kde hledat.

Nekonečné vlastnosti Fibonacciho čísel

Ten druhý řádek? Toto je úvod do posloupnosti, kterou nyní nazýváme Fibonacciho čísla. Každé číslo po prvních dvou je jednoduše součtem předchozích dvou. Jednoduchá matematika. x _n = x _n−1 + x _n−2. Ale až do roku 1600 nikdo nevěděl, že toto pravidlo bylo klíčové.

Opravdová exploze zájmu přišla až později. Totiž v polovině 20. století. Vědci s nadšením studovali vlastnosti těchto čísel, výsledkem je hora literatury. A zdá se, že tato studna je bezedná. Identity se stále objevují. Vezměme si příklad: x _n+1 · x _n−1 = x _n ² + (−1)ⁿ. Je to elegantní. Je to vytrvalé.

Pak se objevil Edouard Lucas. Měl svůj vlastní vzorec pro generování stejných čísel. Jiný pohled na stejnou nekonečnou hádanku.

Matematika za magickým poměrem

Vše začíná číslem, které odmítá být prvočíslo. Zlatý řez, Phi (Φ), je přibližně 1,618. Jeho převrácená hodnota je 0,618. Obě čísla jsou kořeny rovnice x ² − x − 1 = 0. Tato rovnice sahá až k Lucovi Paciolimu, italskému matematikovi z 15. století. Nazval to „Božská proporce“. Vzorec vypadá takto: a /b = b /(a + b ), za předpokladu, že a je menší než b. Pokud vezmete x za b /a, získáte tento výsledek.

Mluvíme o rozdělení segmentu. Rozdělte jej tak, aby menší část souvisela s větší, stejně jako větší část souvisí s celým segmentem. Starověcí konstruktéři to věděli. Toto pravidlo používají i moderní architekti. Obdélník se stranami v poměru 3:5 působí harmonicky. Nebo 8:5. Je to esteticky příjemné. Někomu to přijde nejpříjemnější.

Síly Phi

Zvyšte Phi na postupné síly. Sekvence se odvíjí. Začíná to konkrétními čísly, která odrážejí tento samotný vztah.

Když se podíváte na radikály, možná byste nečekali, že uvidíte odkaz na popkulturu, ale za druhou odmocninou z pěti je skrytý vzorec. Není to magie. Prostě matematika dělá to, co dělat má.

Koeficienty v této posloupnosti jsou známá Fibonacciho čísla. Znáš je. Jedna, jedna, dva, tři, pět, osm. Seřazují se v rytmu tlukotu srdce.

Podívejte se blíže na závorky. Druhí členové mají jiný rytmus. Lukova sekvence. Začíná se jedničkami a trojkami. Pak jsou čtyři, sedm, jedenáct, osmnáct. Zdá se to povědomé. A skutečně je to tak.

Lukeova sekvence má stejný opakující se srdeční tep jako Fibonacci. Každé číslo je součtem předchozích dvou. Vzorec je jednoduchý. $x_n = x_{n-1} + x_{n-2}$.

Je to dobrý trik. Matematické velikonoční vajíčko pro každého, kdo má rád vzory. Až příště uvidíte √5, zamyslete se nad čísly skrytými na desetinných místech. Jsou tam a čekají na sčítání.

Začněte zlatým obdélníkem označeným ABCD. Vyřízněte čtverec ABEF. co zbylo? Obdélník ECDF. Toto je další zlatý obdélník. Stejné proporce. Různé velikosti. Pokud budete v tomto procesu pokračovat, budou se čtverce stále zmenšovat. Úhly jsou stejné. Nakreslete přes ně kruhové oblouky. Výsledkem není dokonalý kruh, ale logaritmická spirála.

Příroda tuto formu miluje. Vidíte to v mušlích nautilus. Vidíte to u hurikánů. Matematika za tím je čistá. Rovnice r = k Θ popisuje tuto křivku v polárních souřadnicích. Konstanta k je definována jako Φ²/π. Fí na druhou děleno pí. Toto je přesný vztah mezi výškou a úhlem.

Geometrie se ale neobjevuje pouze na papíře. Je také na zahradě. Fibonacciho čísla vysvětlují fylotaxi. Toto je složitý termín pro způsob, jakým rostliny uspořádávají své části. Podívejte se na hrbolek. Spočítejte přesleny. Podívejte se na ananas. Spirály se protínají ve Fibonacciho číslech. Slunečnicové hlavy? To samé. Okvětní lístky nerostou náhodou. Dodržují určitou sekvenci.

Proč rostliny dodržují Fibonacciho pravidla

To není náhoda. To je efektivita. Výše uvedená specifická sekvence frakcí pomáhá semenům pevně se sbalit. Tím je zajištěna maximální expozice světla. Větve na některých stoncích se řídí stejnou logikou. Navzájem si nestíní. Rostlina optimalizuje svou strukturu.

Spirála znázorněná na obrázku 4 se blíží tomuto přirozenému růstu. Je to přiblížení, protože příroda je nedokonalá. Biologie nesleduje jasné linie. Sleduje trendy. Zlatý řez se projevuje v uspořádání listů. Projevuje se umístěním semen. Toto je vzorec, který se opakuje mezi různými druhy.

Někdo by mohl namítnout, že jde jen o vizuální přitažlivost. Ale matematika obstojí při kontrole. Logaritmická spirála umožňuje expanzi bez změny tvaru. List roste. Nedeformuje se. Šupí se. Fibonacciho sekvence poskytuje celočíselné kroky pro toto škálování. Toto je diskrétní růst v nepřetržitém světě.

Spojení mezi matematikou a biologií

Jak semínko pozná, že má růst ve spirále? To neví. Fyzika buněčného dělení upřednostňuje tyto úhly. Divergenční úhel směřuje ke zlatému úhlu. Tím se minimalizuje překrývání. Tím se maximalizuje prostor. Výsledek vypadá jako Fibonacciho spirála. Toto je Fibonacciho spirála.

Abyste si toho všimli, nepotřebujete vzdělání v botanice. Stačí se podívat na další kupovaný ananas. Nebo příští slunečnice. Čísla jsou přítomna. Jsou zabudovány do konstrukce. Zlatý obdélník je jen geometrická abstrakce. Rostlina je fyzická realita. To jsou dvě strany téže mince. Jeden byl nakreslen pomocí kružítka. Druhý se pěstuje v půdě. Oba se řídí stejným základním pravidlem.

Optické iluze nejsou jen párty triky. Jedná se o matematické hádanky maskované jako vizuální šum. Matematika za nimi často spoléhá na základní geometrické principy. Zejména na proporcionalitě mezi plochami podobných obrazců a čtverci jejich lineárních rozměrů. Ale není to jen o rovnicích. Je zde také fyziologický aspekt. Váš mozek vnímá relativní délky přesněji než relativní plochy. Právě v této mezeře vnímání existuje iluze.

Je to o netradičním pohledu. Pokřivené rohy. Klamavé stínové osvětlení. Když sladíte barvy neobvyklým způsobem, způsobíte chromatickou aberaci. Po něm následují další obrázky. Abychom těmto mechanismům porozuměli hlouběji, stojí za to obrátit se na články o iluzích a halucinacích. Geometrie je ale ještě podivnější, když se přestanete dívat na statické obrázky a začnete věnovat pozornost logickým úskalím.

Geometrie lží

V geometrii existují slavné „důkazy“, které tvrdí, že demonstrují absurdní tvrzení. To jsou logické chyby (sofismy). A jsou svůdné, protože sledují logickou strukturu, ale obsahují fatální chybu.

Vezměme si tvrzení, že jakýkoli trojúhelník je rovnoramenný. To nezní správně. A to opravdu není pravda. Některé „důkazy“ vás však přesvědčí o opaku. Pak je tu tvrzení, že každý úhel je pravý úhel. Nebo myšlenka, že pokud je ve čtyřúhelníku ABCD strana AB rovna straně CD, pak AD je nezbytně rovnoběžná s BC. To je lež. Můžete sestavit obrázek, který odpovídá popisu, aniž by to byl rovnoběžník. Nejvíce pobuřující tvrzení je, že každý bod uvnitř kruhu leží na samotném kruhu.

Jak tyto sofistiky fungují? Nepoužívají magii. Využívají jemné chyby.

Vysvětlení těchto falešných důkazů se obvykle scvrkává na několik opakujících se technik. Za prvé se jedná o chybnou konstrukci. Diagram je nakreslen mírně nepřesně, čímž se skrývá rozpor. Za druhé je to porušení logických principů. Jedním z těch společných je předpoklad pravdivosti opačné věty. To, že A znamená B, neznamená, že B znamená A. Záměna částečných konverzací a konverzací je klasickou pastí.

Někdy jde o nesprávnou interpretaci definice. Důkaz ignoruje podmínky „nezbytnosti a dostatku“. Vyžaduje to podmínku, která je vyžadována, ale nestačí k prokázání celého prohlášení. A pak je tu lidský faktor. Přílišné spoléhání na diagramy a intuici. Věříme svým očím více než logice. Upadáme do pasti omezujících procesů a klamných vnějších projevů. Mozek vidí to, co očekává, že uvidí.

Když kusy nemají cestu ven

To přímo vede k nemožným číslům. Nejsou to jen optické triky, kde se linie protínají. Jsou to struktury, které nemohou existovat v trojrozměrném prostoru.

Vezměte Penroseův trojúhelník. Tři tyče tvoří trojúhelník. Každý roh vypadá jako standardní 90° spoj. Pokud je spojíte dohromady, vytvoří prsten. Váš mozek se snaží vyřešit základní signály. Každé hraně přiřadí přední a zadní stranu. Ale žebra se nespojí. Obrázek vyžaduje topologii, která porušuje pravidla euklidovské geometrie.

Tyto rekonstrukce jsou topologickou noční můrou. Nutí oko, aby sledovalo souvislou linii, která, kdyby se ji pokusili sledovat v reálném prostoru, musela by projít sama sebou nebo se ohýbat způsobem, který vzdoruje fyzickým omezením. Umělci a matematici je používají ke zdůraznění hranic vnímání. Ukazují, že váš mozek je předpovědní stroj, nikoli kamera. It fills

Nemožná geometrická past

Podívejte se na obrázek 5. Váš mozek to chce přijmout. Vidí věrohodné 3D objekty. Solidní. Nemovitý. Ale podívejte se blíž a iluze se zhroutí. These pictures lie. Jsou postaveny na chybné perspektivě, podivných juxtapozicích nebo přímo psychologických tricích. You can’t build them. Ve vesmíru neexistují.

To jsou neřešitelné figury.

Oskar Reterswart nebyl fascinován jen vizuálními paradoxy. Udělal z nich svůj byznys. Švédský umělec proměnil tyto nemožné tvary ve středobod série poštovních známek. It was early. It was brave. A dokázal, že poštovní známka může být vstupní branou do geometrie, která odmítá fungovat.

Nekonečné schodiště a logika paradoxu

Všechno to začalo v roce 1958. Britský genetik L.S. Penrose a jeho syn, matematický fyzik Roger Penrose, uvedli svět do podivných smyček. Nebyly to jen vizuální triky. These were unsolvable figures.

Vyjděte po čtvercovém Penrosově schodišti. Můžete po ní chodit do nekonečna jakýmkoliv směrem. Nikdy nevystoupíš výš. You never go lower. It’s an endless cycle. M.K. Escher developed this concept. Jeho litografie Ascent and Descend z roku 1960 zobrazuje mnichy kráčející po této nemožné cestě. Vodopád (1961) ukazuje, jak voda vzdoruje gravitaci a uzavírá se do smyčky. To není jen umění. These are visual proofs of logical paradoxes.

Podivné smyčky se dotýkají nekonečna. Odrážejí sebereferenční prohlášení jako Epimenidova. Filosof prohlásil, že všichni Kréťané jsou lháři. If he’s right, he’s lying. Pokud lže, má pravdu. The loop closes. Logic breaks down.

When curves break the rules

Matematika má svou vlastní verzi tohoto šílenství. Pathological curves.

Standardní spojitá křivka se chová předvídatelně. It has tangents. It has a defined curvature. Patologické křivky tyto vlastnosti nemají. They lack basic characteristics. Their tangent may not be defined at any point. Lze je kreslit. You can measure the area they limit. Tato oblast je konečná. Délka? Nekonečný.

These are not optical illusions. These are real mathematical objects. Vznikají jako limity posloupností geometrických konstrukcí. The numbers match. The figures don’t quite fit together. Their length tends to the same limit. Oblast je do jiné. Ale samotný objekt? This is a paradox.

“Jejich specifické rysy tvoří paradoxy, nikoli optické iluze nebo omyly.”

Tady matematika přestává být intuitivní. You draw a line. It becomes endlessly broken. She stays in a small space. It has no slope at any point. It’s a curve that refuses to be a curve.

Vidíme to na krocích Penrose. Vidíme to ve věznicích Escher. Vidíme to v matematice za nimi. Nekonečná délka v konečném prostoru. Směr, který nikam nevede. To není chyba. Toto je funkce.

Otázkou není, jak to opravit. Otázkou je, co se stane, když smyčku přijmete. pokračuješ dál? Přestaneš se snažit najít konec?

Křivka pokračuje.

Geometrie nekonečného obvodu a konečného prostoru

Vezměme si Kochovu sněhovou vločku. Začněte jednoduchým rovnostranným trojúhelníkem. Každou stranu rozdělte na tři stejné části. Nahraďte prostřední třetinu dvěma stranami menšího rovnostranného trojúhelníku směřujícími ven. Opakujte to znovu a znovu. Proces se donekonečna opakuje. První dva kroky jsou znázorněny na obrázku 7 a ukazují, jak se tvar s každou iterací stává zubatější, ostřejší a složitější.

Tady je šmrnc. Obvod neomezeně roste. Usiluje o nekonečno. Oblast, kterou omezuje, však zůstává konečná. Blíží se k určité hranici. Tato horní hranice je přesně 8/5 plochy původního trojúhelníku.

Přemýšlejte o tom. Máte nekonečně dlouhou hranici zahrnující konečný prostor. To je v rozporu s intuicí, že delší čáry znamenají větší plochu. Kochova křivka tuto mylnou představu vyvrací.

Vyplnění mezery čárou, která by se tam neměla vejít

To je v rozporu se základy geometrie. Křivka je jednorozměrný objekt. Má délku, ale žádnou šířku. Nemůže pokrýt dvourozměrnou oblast. Návrh na obrázku 8 však dokazuje opak. Pokud budete v procesu pokračovat ve všech fázích, konečný výsledek pokryje každý bod čtverce.

To není trik. Matematika se drží. Křivka se stává vyplňujícím prostor.

Od čtverců ke kostkám

Tuto logiku lze dále rozšířit. Není omezen na rovné povrchy. Za použití stejné úvahy může křivka vyplnit celou krychli. Tři rozměry. Jedna souvislá čára. Zní to nemožně, dokud neuvidíte, jak to funguje matematicky.

Sierpinského křivka je zvláštní tvor. Začíná to jako jednoduchý čtverec, ale pokud budete v procesu budování pokračovat dostatečně dlouho, změní se v něco úplně jiného. Obsahuje každý bod uvnitř tohoto čtverce. Tvoří uzavřenou smyčku.

Tady je šmrnc. Pokračovat. Donekonečna.

Délka křivky se blíží nekonečnu. Nikdy nepřestane růst. V tomto případě se plocha, kterou omezuje, ustálí na přesně pěti dvanáctinách celkové plochy náměstí. To je paradox geometrie.

“Jak proces vytváření křivky pokračuje donekonečna, její délka má tendenci k nekonečnu, zatímco plocha jí omezená má tendenci k 5/12 plochy čtverce.”

Pak je tu fraktální křivka. Zde se také hodí volná definice. Je to tvar, který si zachovává svůj nepravidelný vzor bez ohledu na to, jak moc přiblížíte. Vzpomeňte si na Kochovu sněhovou vločku. Toto je klasický příklad.

Podívejte se, co se děje v jednotlivých fázích jeho výstavby. Obvod se jen tak nezvětší. Roste v určitém poměru. Čtyři až tři.

Benoit Mandelbrot změnil pravidla hry v 50. letech 20. století. Nelíbila se mu stará myšlenka dimenze. Chtěl nový symbol. D.

Na dimenzi pohlížel jako na stupeň. Na jakou moc potřebujete zvýšit 3, abyste získali 4? Toť otázka. Odpověď není celé číslo. Toto je logaritmus 4 dělený logaritmem 3. Přibližně 1,26.

To je velikost sněhové vločky. Toto není čára. Tohle není letadlo. Ona je někde uprostřed.

Mandelbrot a jeho kolegové začali studovat tyto „patologické“ křivky. Přitahovala je sebepodobnost. Ale neuvažovali jen o matematice. Podívali se na svět.

Náhodné výkyvy v přírodě vytvářejí statistickou podobnost. Mandelbrotovy techniky pomohly toto rozluštit. To funguje pro mechaniku tekutin. Geomorfologie. Fyziologie člověka. Ekonomika. Lingvistika.

Vezměte Brownův pohyb. Podívejte se na mikroskopické povrchy. Podívejte se na cévní sítě ve svém těle. Zkontrolujte tvary molekul polymeru.

To vše jsou fraktály. Sdílejí stejnou hrubou, opakující se texturu.

Labyrinty

Řešení neřešitelného

Položte ruku na zeď. Nechte to tam. Pokud má bludiště pouze jeden vchod a jeden východ, toto jednoduché pravidlo zajistí, že východ najdete. Toto nemusí být nejrychlejší cesta. Můžete udělat objížďku. Ale dostanete se tam.

Co když je cíl skryt uvnitř bludiště? Funguje stejná technika hand-on-the-wall. Je zde jedna podmínka. Žádné uzavřené smyčky. Pokud bludiště obsahuje smyčku – trasu, která se vrací na začátek – metoda nebude fungovat. Jednoduše se budete točit na místě.

Matematici nazývají labyrint bez cyklů „jednoduše propojený“. Pokud obsahuje cykly, je „vícenásobně připojen“. K navigaci v tak složitých strukturách potřebujete lepší plán.

Označte každou vidličku jako uzel. Označte cesty jako „nové“ nebo „staré“. Zde je návod, jak procházet bludištěm, aniž byste se ztratili:

• Nikdy nejděte stejnou cestou více než dvakrát.
• Potkal jsi nový uzel? Vyberte si směr.
• Potkali jste starý uzel nebo slepou uličku na nové cestě? Otočte se a vraťte se stejnou cestou zpět.
• Potkal jsi starou křižovatku starou cestou? Zkuste novou cestu. Pokud nejsou žádné nové cesty, vyberte jinou starou.

Lidé si hrají s papírovými bludišti méně než dříve. Radost vyprchala. Dva moderní obory na ně ale stále spoléhají. Psychologie je používá ke studiu chování při učení. Komunikační technologie je využívají ke zlepšení počítačového designu.

Řezání tvarů na kousky

Geometrické řezy jsou různé. Zahrnují řezání tvarů na kusy, které lze přeskupovat. Vezměte obdélník. Odřízněte to. Sestavte dílky do čtverce. Udělejte totéž v opačném směru.

Zájem o tuto matematickou hádanku se objevil na konci 18. století. Montyukla na tento problém upozornil. Jak popularita rostla, zaměření se přesunulo. Už to nebylo jen o obdélnících a čtvercích. Mluvili jsme o jakýchkoli polygonech. Jak vyříznout tvar s n stranami na jiný tvar se stejnou plochou?

Začátkem 20. století se problém opět změnil. Nestačilo to jen udělat. Bylo potřeba najít minimální počet potřebných kusů. Důležitá byla efektivita.

Kolem roku 1960 vznikla ucelená teorie. Definovala „stejně rozložené“ postavy. Dva polygony jsou stejně rozložitelné, pokud lze jeden rozřezat na konečný počet kusů a přeskupit tak, aby vznikl druhý. Jejich plochy musí být stejné. Samozřejmě.

Opačná věta je ještě silnější. Pokud mají dva polygony stejnou plochu, jsou rovnoměrně rozloženy. Tečka.

Existuje také způsob sčítání. Přidejte stejné díly do dvou tvarů. Srovnejte nové tvary. Taková čísla se nazývají „stejně komplementární“. Jejich plochy jsou také stejné.

Teorie se rozšířila. Vědci zkoumali, jak ekvidekomposibilita souvisí s pohybem. Převody. Středová symetrie. Pohybové skupiny obecně. Výzkum nakonec dosáhl mnohostěnů. Trojrozměrné postavy. Mnohem složitější otázky. Stále hledají odpovědi.

Mechanika řeckého kříže

Praktická aplikace vyžaduje více než jen teorii. Přeměnit řecký kříž na čtverec není tak jednoduché jako udělat jeden jednoduchý záhyb. To vyžaduje vynalézavé metody, aby to fungovalo. Geometrie se rychle stává složitou.

H. Lindgren zdokumentoval některé z těchto specifických metod. Jeho práce je základním odkazem pro každého, kdo se skutečně snaží tuto hádanku vyřešit. Podrobnosti lze nalézt v Bibliografii. Není to otázka dohadů, ale dodržování kroků, které skutečně fungují.

Čtverec ve čtverci: řešení geometrické hádanky

Zapomeňte na zaprášené učebnice. Myšlenka, že je nemožné rozdělit čtverec na menší, nestejné čtverce, byla kdysi přetrvávajícím mýtem. Nebylo to kvůli nedostatku snahy. Matematici už desítky let zírají na prázdný list. Řešení nepocházelo z kompasu a pravítka. Vychází z teorie sítí.

Mluvíme o čtvercových obdélnících. Obdélník rozdělený na konečný počet čtverců. Pokud žádný z těchto čtverců není stejně velký, nazývá se dokonalý. Objednávka? Jde jen o počet těch čtverečků.

To je podstata. Neexistují žádné dokonalé obdélníky skládající se z méně než devíti čtverců. Nula. Ani jeden. Ale u řádu devět jsou takové obdélníky rovnou dva. Jeden z nich je znázorněn na obrázku 12. Rozdělení čtverce na nestejné čtverce, které bylo v roce 1907 považováno za nemožné, bylo poprvé popsáno v roce 1939.

Není to magie. Toto je topologie.

Jak grafy řeší geometrické hádanky

Slovo „graf“ je matoucí. Představte si spojnicový graf. Zpráva o akciích. Křivka analytické geometrie. Špatně. Nebo alespoň neúplně.

V hádankách je graf jednodušší. Body a čáry, které je spojují. Lineární grafy. Už ne. Přesto tyto primitivní struktury vyřešily problém, který mate geometry po více než třicet let.

Proč je to důležité? Protože ukazuje, jak se abstraktní sítě promítají do fyzického prostoru. Vezmi si obdélník. Napasujete do něj čtverce. Sledujete spojení. Graf odhaluje skrytou symetrii.

Nejde jen o krásné formy. Je to o logice. Čistá, nekomplikovaná logika.

“Rozdělení čtverce na nestejné čtverce, které bylo v roce 1907 považováno za nemožné, bylo poprvé popsáno v roce 1939.”

Tři desetiletí slepých uliček. Pak – průlom. Ne proto, že by se někdo stal chytřejším. Je to proto, že se přestali dívat na čtverce a začali se dívat na čáry mezi nimi.

Graf se nestará o úhly. Záleží mu na souvislostech. To je to tajemství.

Základy teorie grafů: od úplných grafů po rovinné hádanky

Konečná množina bodů spojených úsečkami tvoří graf. Tyto body se nazývají vrcholy. Čáry, které je spojují, jsou hrany. Když je každý vrchol propojen s každým druhým vrcholem, výsledkem je úplný graf. Ale ne všechny grafy jsou tak jednoduché.

Uvažujme rovinné grafy. Jedná se o grafy, ve kterých se hrany navzájem neprotínají, s výjimkou samotných vrcholů. Okraje nemusí být rovné. Lze je ohýbat. Tato flexibilita umožňuje překreslení neplanárního grafu na izomorfní rovinný graf, jak je vidět na standardních geometrických ilustracích.

Okraje grafu nemusí být rovné. Na tomto rozlišení záleží. Znamená to, že zamotaný diagram s mnoha průsečíky může být ve skutečnosti rovinný, pokud jen odtlačíte okraje od sebe.

Problém tří studní a Jordanův nápad

Zde je klasická hádanka. Problém tří studní. Tři domy. Tři studny. Ke každé studni je nutné nakreslit cesty od každého domu. Celkem je devět cest. Pravidlo? Žádná cesta by se neměla křížit s jinou. To je nemožné.

Důkaz se opírá o Jordanovu větu o křivce. Uzavřená spojitá křivka rozděluje rovinu na vnitřní a vnější oblasti. Jakákoli cesta spojující bod uvnitř s bodem vně musí protínat křivku. Tato topologická realita činí problém tří studní neřešitelným.

Rovinné grafy jsou užitečné pro více než jen hádanky. Používají se při projektování elektrických sítí. Desky s plošnými spoji často používají planární principy, aby se zabránilo zkratům a řízení konektivity.

Propojené grafy a cesty

Souvislý graf je jednoduše graf, ve kterém je každý vrchol spojen s každým druhým vrcholem obloukem. Oblouk je jednoduše nepřerušovaná sekvence hran.

Existuje také koncept cesty. Dráha prochází grafem, aniž by dvakrát prošla podél stejné hrany. Vrchol je možné navštívit několikrát. Hlavní věc je nepoužívat stejnou hranu dvakrát. Jedná se o určitý typ bypassu.

Kořeny moderní teorie grafů sahají do hádanky z 18. století, která se zdála být dostatečně jednoduchá na to, aby ji náhodný kolemjdoucí rozluštil, ale ukázalo se, že je matematicky hluboká. Všechno to začalo Leonhardem Eulerem a slavným problémem Königsbergských mostů. Po dlouhou dobu byla tato oblast definována zvláštním typem cesty známé jako eulerovská stezka. Toto je tvar, který lze nakreslit, aniž byste zvedli tužku z papíru nebo dvakrát obkreslili stejnou čáru.

Dějištěm bylo město Königsberg, nyní známé jako Kaliningrad. Zeměpis byl matoucí. Řeka Pregolya byla rozdělena na ramena a obklopovala ostrov. Sedm mostů spojovalo různé oblasti země. Úkol kladený před obyvatele města byl zdánlivě jednoduchý. Mohl by někdo opustit domov, projít přes tyto mosty a vrátit se domů poté, co každý z nich přejde právě jednou?

Euler dokázal, že to není možné. Neřekl jen ne. Dalo světu nový způsob, jak nahlížet na sítě.

Pravidla sítě

Eulerova logika platí pro jakoukoli uzavřenou síť, nejen pro řeky a mosty. Řešení spočívá v bodech, kde se přímky protínají.

• Počet sudých bodů – uzlů, kde se sbíhá sudý počet hran – neovlivňuje možnost existence cesty.
• Počet lichých bodů – kde se setkává lichý počet hran – musí být vždy sudý. To platí i v případě nula lichých bodů.
• Pokud nejsou žádné liché body, můžete začít kdekoli a skončit ve stejném bodě.
• Pokud existují přesně dva liché body, musíte se začít pohybovat od jednoho lichého bodu a skončit u druhého.
• Pokud více než dva liché body, souvislá cesta není možná. Síť s $2n$ lichými body lze procházet $n$ samostatnými cestami.

Proč mosty nefungovaly

Podívejte se na obrázek 15F. Odráží situaci v Königsbergu. Tečky představují zemské masy a okraje představují sedm mostů.

V síti jsou čtyři liché body. To znamená, že k jejímu dokonalému projití by byly potřeba čtyři samostatné cesty. Protože lidé chtějí jít na jednu souvislou procházku, hádanku nelze vyřešit.

Další kresby ze stejné sady vyprávějí různé příběhy. Obrázky 15B a 15C fungují. Odpovídají Eulerovým principům. Lze je procházet pomocí eulerovských cest. Obrázky 15D a 15E nefungují. Porušují pravidla sudých a lichých bodů.

Poučení bylo naučeno. Přestali jsme se dívat na křivky a začali jsme hledat souvislosti.

Možná si myslíte, že online hádanky jsou jen mozková cvičení, ale ve skutečnosti jde o spojování nebo uspořádání bodů v prostoru. Je starší, než si myslíte.

S jednou takovou hádankou přišel irský matematik Sir William Rowan Hamilton v roce 1859. Úkolem bylo najít cestu po okrajích pravidelného dvanáctistěnu. Každý bod bylo nutné projít přesně jednou. Žádné opakování. Žádné zkratky.

Později lidé hru zjednodušili. Trojrozměrný obrazec nahradili rovinným grafem s 30 hranami. Stejná logika, méně kartonu na skládání.

Tomu říkáme hamiltonský okruh. Každý vrchol navštíví jednou. Nepokrývá však všechny okraje. Na každém průsečíku jsou tři hrany. Obvod používá pouze dva z nich. Tlusté čáry na obrázku 16 ukazují jednu takovou cestu. Je jich mnoho.

Teorie grafů a skutečný chaos

Teorie grafů není jen o skládání papíru. Řeší kombinatorické problémy.

Přemýšlejte o propojení měst železnicí. Nebo pokládání telefonních linek. Potřebujete síť, která funguje. Naplánovat to pomáhá teorie grafů.

Řeší i dopravní problémy. Pořádá turnaje mezi sebou, takže každý tým hraje s každým týmem. Přiřazuje pracovní místa s kandidáty. Toto je univerzální klíč k objednávání úkolů.

Problém čtyř barev pro karty

Kartografové věděli, o čem matematici debatovali celé století.

Žádná karta nevyžaduje více než čtyři barvy. Můžete obarvit jakoukoli oblast, pokud mají sousední oblasti různé barvy. Jednoduché pravidlo. Komplexní důkaz.

V roce 1852 někdo formuloval „problém čtyř barevných karet“. Je možné sestavit rovinnou mapu, která vyžaduje pět barev?

Matematici na tento problém útočí už léta. Neuspěli.

V roce 1976 pak tým z University of Illinois zasadil rozhodující úder. Dokázali, že čtyři barvy stačí.

Tady je šmrnc. To byl první velký důkaz, který se silně spoléhal na počítač. Provedli více než 1000 hodin výpočtů. Diagramy byly vytvořeny strojově. Někteří matematici to nenáviděli. Říkali, že to není dost “lidské”. Ale povedlo se.

Podobné otázky můžete položit i pro jiné povrchy.

Karty na torusu (postava ve tvaru koblihy) vyžadují sedm barev. Už ne. Nic méně.

Kouzlo flexagonů

Flexagon je mnohoúhelník vyrobený z papíru nebo fólie. Vypadá to jako plochý proužek, dokud ho neohnete.

Poté změní okraje.

Poprvé se o nich začalo mluvit v roce 1939. Nyní jsou nedílnou součástí matematické zábavy.

Trihexaflexagon je nejjednodušší verze.

Postup vytvoření:
1. Ustřihněte pruh hmoty.
2. Označte 10 rovnostranných trojúhelníků.
3. Několikrát podle toho přeložte.
4. Poslední trojúhelník přilepte na zadní stranu prvního.

Ohněte to. Jeden okraj zmizí. Na její místo nastupuje jiný. Je to jednoduché. To je zvláštní. Funguje to.

Manipulativní zábava

Nejsou to jen hry. Toto jsou modely toho, jak strukturujeme prostor.

Počátky přeskupovacích hádanek sahají až do Luke’s Mystery. Představte si řadu sedmi buněk. Černé žetony jsou umístěny ve třech levých buňkách. Pravé tři jsou bílé. Centrální buňka je prázdná. Váš cíl: vyměňte je. Černá se pohybuje doprava. Bílá – doleva. Figurku můžete přesunout do sousední prázdné buňky nebo přeskočit nepřátelskou figurku. Pro n žetonů každé barvy je počet tahů n (n + 2).

Měřítko úkolu. Nebo to snížit. Matematika stále platí.

Existuje související puzzle s osmi očíslovanými dílky na devíti polích. Musíte obrátit pořadí. Jsou povoleny pouze jednotlivé pohyby a skoky. Žádné zkratky.

Pak jsou tu hry pro dva hráče. Tic-tac-toe je základní úroveň. Ale variace se stávají zajímavějšími. Zvažte verzi, kde každý hráč začíná se třemi žetony. Deska je mřížka 3 × 3. Dlaždice se pokládají jedna po druhé. Zpočátku nelze centrální buňku použít. Pokud po umístění nikdo neudělal tři za sebou, začíná fáze pohybu. Pouze do sousedních buněk. Horizontální nebo vertikální.

Vítězství je dosaženo vytvořením linie.

Přejděte na desku 4×4. Každý hráč má čtyři figurky. Někdy se uvažuje i s úhlopříčkami. Vyzkoušejte vzor 5 × 5. Nebo se podívejte přes Atlantik do Evropy, kde vládne The Mill nebo Nine Men of Morris. Tři soustředné čtverce. Osm transverzál (protínajících se čar). Spojte tři figurky, abyste odstranili soupeřovu figurku. Zde není důležité jen zarovnání, ale blokování.

Geometrie připojení

Hex je jiný. Nejde o čáry. Mluvíme o řetězech.

Piet Hein ji vynalezl v Dánsku v roce 1942. Deska je kosočtverec z dlážděných šestiúhelníků. Obvykle 11 buněk na každém okraji. „Dlážděné“ jednoduše znamená složené jako dlaždice. Žádné mezery. Dva protilehlé okraje jsou „bílé“. Další dva jsou „černí“.

Hráči se střídají v umístění žetonů. Cíl? Postavte nepřerušený řetěz ze své strany na opačnou stranu. Bílá jde shora dolů. Černá – ze strany na stranu.

Remíza v této hře je nemožná. Proč? Protože nemůžete zablokovat protivníka, aniž byste si nejprve postavili svůj vlastní řetězec. Jedna cesta řeže desku. Hra okamžitě končí.

John Nash jej vynalezl nezávisle v USA v roce 1948. Po letech vstoupil na trh pod názvem Hex.

Strategie zde není o jednoduchém sladění. Je to topologické. Jde o ovládání.

Královnino dilema

Šachovnice nabízejí své vlastní matematické výzvy. Nejznámější? Umístěte osm královen na standardní desku tak, aby žádná neútočila na druhou. Carl Friedrich Gauss pracoval na tomto problému kolem roku 1850. Ve své posedlosti nebyl sám.

Pak je tu „problém s koňmi“. Uzavřená prohlídka. Začněte s jednou buňkou. Navštivte každou druhou buňku přesně jednou. Dokončete, kde jste začali. Matematika za tím je propletená magickými čtverci. Vzory uvnitř vzorů.

Další problémy se týkají hodnoty kusů. Kolik slonů můžete umístit, aniž by se navzájem trefili? Jaký je minimální počet rytířů potřebných ke kontrole každého políčka na herním plánu?

Zkuste umístit 16 královen. Žádný z nich by neměl být na stejné přímce. Ani to není triviální úkol.

Patnáct hlavolamů

Sam Lloyd starší rád tvrdil, že vynalezl „Tag“ kolem roku 1878. Moderní vědci s tím nesouhlasí. Objevili dřívější vynálezce. Hádanka měla jiná jména: „Šéf“, „Klenot“, „Mystický čtverec“. Rychle, s alarmující rychlostí se rozšířil po Evropě.

Zařízení je dostatečně jednoduché na to, aby se spletlo. Malý čtvercový podnos. Patnáct malých očíslovaných žetonů. Jedna prázdná buňka. Začnete tím, že čísla budou v náhodném pořadí. Prázdné místo je v pravém dolním rohu. Cíl? Uspořádejte tvary v číselném pořadí. Můžete je pouze přesunout. Prázdný prostor by se měl nakonec vrátit tam, kde začal. To je ten háček.

Z rozsahu úkolu se vám může zatočit hlava. Existuje více než 20 miliard miliard možných kombinací dlaždic, včetně prázdného prostoru. V roce 1879 dokázali dva američtí matematici něco ohromujícího: pouze polovina těchto počátečních uspořádání je skutečně řešitelná. To je přibližně 10 miliard miliard. Zbytek je slepá ulička.

Matematika za tím je elegantní a lehce krutá. Přemýšlejte o cestě, kterou se každé jednotlivé číslo ubírá. Dokud skončí v pravém dolním rohu, prochází sudým počtem buněk. Je to otázka parity.

Ve vyřešeném stavu je každé číslo větší než předchozí. Čtete zleva doprava, shora dolů. Žádné číslo není před menším. V každém dalším uspořádání toto pravidlo porušuje alespoň jedno číslo. Tomu se říká inverze.

Vezměme posloupnost 9, 5, 3, 4. Devítka je před třemi menšími čísly. Pětka je před dvěma menšími čísly. Inverzí je celkem pět. Toto je liché číslo. Pokud je celkový počet inverzí v jakémkoli daném uspořádání sudý, je hádanka řešitelná. Vraťte čtverce do původního stavu. Pokud je číslo liché, jste v prdeli. Hádanka nemá řešení.

Na obrázku 17B jsou dvě inverze. Řešitelné. Na obrázku 17C je jich pět. Nemožné. Teoreticky lze tuto logiku aplikovat na zásobník libovolné velikosti. Velikost mřížky m x n. S mn mínus jeden očíslovaný čip. Matematika stále platí.

Hanojská věž

Edouard Luca nevynalezl hlavolam jen v roce 1883. Dal nám matematickou noční můru zabalenou ve dřevě.

Francouzský matematik. Nezbytnost pro obchody s hračkami. Tři pruty. Osm disků.

Tohle je Hanojská věž. Nebo je to alespoň ona, kterou jsme vždy ze všeho obviňovali. Luke se dostane zasloužené slávy, i když historici diskutují o tom, zda ji vytvořil sám, nebo jen zpopularizoval starší záhadu. Na tom nezáleží. Tato hádanka je všude. Plastové verze zaplňují police. Dřevěné stojí na kancelářských stolech. Pravidla jsou dostatečně jednoduchá na to, abyste je vysvětlili za třicet sekund.

Umístěte osm kotoučů na jednu tyč. Největší je dole, nejmenší nahoře. Velký disk by nikdy neměl spočívat na malém. Přesuňte celý stoh na jinou tyč.

To je vše.

Ale to není pravda.

Matematika vás zasáhne jako náklaďák. n disky vyžadují přesně $2^n – 1$ tahů.

Osm disků? To je $ 2^8 – $ 1. 255 tahů. Dosažitelný. Trochu únavné. Dobrá zkouška trpělivosti.

Ale představte si původní legendu.

Věž ze šedesáti čtyř disků.

Toto číslo není jen velké. Je vesmírně, děsivě velký. 2 $^{64} – 1 $.

18 446 744 073 709 551 615.

Zkuste to říct nahlas. To bude trvat déle než lidský život. Nyní si představte, že uděláte jeden pohyb za sekundu.

Trvalo by vám to asi 585 miliard let.

Vesmír jen tak neskončí. Dávno se promění v tepelnou smrt dlouho předtím, než mniši legendy dokončí přesun poslední desky.

Stejná absurdita je přítomna i v příběhu o zrnkách pšenice na šachovnici. Jedno zrnko na první buňce. Dva na druhém. Čtyři. Osm. Zdvojnásobení na každém kroku. Na šedesátém čtvrtém čtverci budete potřebovat každou míru pšenice, která se kdy v historii lidstva sklidila. A ještě víc.

Tower of Hanoi není hra. Toto je lekce exponenciálního růstu. Varovné označení pro každého, kdo si myslí, že „ještě jeden tah“ nepřinese nic velkého.

Polyominoes

Slovo „polyomino“ se objevilo v roce 1953 jako slovní hříčka na „domino“. Popisuje obrazec složený ze čtverců stejné velikosti spojených stranami. Nemůžete zvednout roh postavy, aniž byste narušili její soudržnost. Jednodušší možnosti lze snadno vizualizovat. Ale skutečná hra začíná u pentomina.

Unikátních tvarů pentomina je přesně dvanáct. Asymetrické kusy se nepočítají dvakrát, pokud jsou převrácené. Jsou stále jen jedním typem.

Matematici nebyli schopni najít obecný vzorec pro počet různých polyominoes v závislosti na počtu čtverců. Známe však přesná čísla u konkrétních zakázek. Existuje 35 hexaminů. Existuje 108 heptomin, pokud počítáte podivnou variantu s dírou uprostřed.

Je možné je všechny zveřejnit?

Problémy zahrnující polyominoes patří do kombinatorické geometrie. Typickým cílem je umístit dílky do konkrétních tvarů nebo pokrýt desku bez mezer.

Vezměme 35 hexaminů. Dohromady pokrývají 210 buněk. Může se zdát, že je lze seřadit do jednoduchého obdélníku. Matematika nabízí možnosti jako 3 x 70, 5 x 42 nebo 14 x 15. Ale to nefunguje. Není možné vytvořit takový obdélník.

A co dvanáct pentomin a jedno čtvercové tetromino? Mohou vyplnit šachovnici 8×8?

Ano. Tento úkol pochází z doby kolem roku 1935. Celkový počet řešení neznáme, ale odhady hovoří minimálně o 1000. Počítačový výpočet v roce 1958 dokázal, že existuje 65 řešení, která umístí jeden čtvercový obrazec přesně do středu.

Kostky Soma

Koncept expanduje do trojrozměrného prostoru. Jestliže polyominoes jsou ploché postavy, pak Soma kostky jsou trojrozměrné struktury. Skládají se ze sedmi nepravidelných částí. Každý kus je vyroben ze čtyř nebo pěti kostek spojených hranami.

Fyzik Benjamin Seymour Wright a matematik John Horton Conway pomohli popularizovat tuto hádanku v 50. letech 20. století. Úkol je jednoduchý. Vezměte sedm dílů. Postavte kostku 3x3x3.

Existuje 240 různých způsobů, jak to vyřešit. Pokud ignorujete rotace a odrazy, počet se sníží. Ale rozmanitost je ohromující. Kostka Soma je v podstatě trojrozměrná analogie problému pentomino. Vyžaduje prostorové myšlení, nejen plochou geometrii.

“Počet různých polyominů libovolného řádu je funkcí počtu čtverců v každém z nich, ale v tuto chvíli nebyl nalezen obecný vzorec.”

Pentomino a hexamino zůstávají populární, protože jsou klamně jednoduché. Vypadají jako hračky. Chovají se jako složité algoritmy.

Některým puristům ta díra v tom heptominu pořád vadí. Porušuje pravidlo „jednoduše připojené“. Ale existuje. A to se počítá.

Čemu dáváte přednost: plochá výzva hrací desky 8×8 nebo 3D rotace Somovy kostky? Počítač našel 65

Herní geometrie

Piet Hein z Dánska nevynalezl jen hex a taktiku. Narazil na něco cizího. Vezměte tři nebo čtyři stejné kostky. Spojte je hranami. Výsledné nepravidelné tvary? Je jich přesně sedm. Matematici jim říkají Soma kostky. Dejte je zpět dohromady a vytvoří větší, dokonalou kostku. To je fakt, který se těžko vysvětluje.

Pátá a šestá postava jsou navzájem zrcadlovými obrazy. Žádné dva kusy nejsou stejné. Těchto sedm kusů – celkem 27 kostek jednotek – je však složeno zpět do bloku 3x3x3 více než 230 výrazně odlišnými způsoby.

Rozmanitost zajímavých struktur, které lze vytvořit, se zdá nekonečná.

Můžete si postavit pohovku. Křeslo. Zámek. Tunel. Pyramida. Jen přeskupení základních částí. Jako aktivita jsou Soma kostky návykové. Lidé je řeší psychicky se zkušenostmi. Psychologové zjistili silnou korelaci mezi rychlostí rozhodování a obecnou inteligencí. Samozřejmě existují anomálie na obou koncích spektra. Ale hráči se nezastaví. Pokračují ve výstavbě.

Barevné čtverce a kostky

Pak jsou tu barevné hádanky. Dlaždice. Kostky. Hrany, které se musí shodovat.

Představte si obdélníkovou hádanku 4×6. Máte 24 tříbarevných vzorů rozbitých čtvercových dlaždic. Uspořádejte je tak, aby dotýkající se okraje měly stejnou barvu. A celá hranice? Jedna plná barva. Jen v popisu. V praxi obtížné.

Známější je puzzle „30 barevných kostek“. Vybarvěte šest barev na lících kostek. Celkem existuje 2 226 kombinací. Vyberte pouze ty, které mají všech šest barev. Dostanete 30 různých kostek. Dvě kostky jsou považovány za „odlišné“, pokud je nemůžete umístit vedle sebe tak, aby se všechny odpovídající plochy shodovaly.

Tyto hádanky byly prodávány pod názvy jako Mayblox Puzzle, Tantalizer a Katzenjammer. Ale skutečný posun přišel s Instant Insanity.

Čtyři kostky. Bílá, červená, zelená, modrá. Sesbírejte je do hranolu 1x1x4. Každá ze čtyř dlouhých hran by měla zobrazovat všechny čtyři barvy. Každá kostka má 24 orientací. Zbývá tak 82 944 možných umístění. Pracují pouze dva.

Pak Instant Insanity pohltilo něco většího.

Vzestup Rubikovy kostky

Erno Rubik si ji nechal patentovat v Maďarsku v roce 1975. Terutoshi Ishigi se přihlásil v Japonsku v roce 1976. Zrodila se Rubikova kostka.

Vypadá to jako 27 malých kostek. Po sestavení je každý ze šesti okrajů jednobarevný. Komerční verze používají systém vnitřní rotace. Otočte vrstvu. Kostky se smíchají.

Úkolem je obnovit pořádek. Počet dosažitelných stavů přesahuje 10^19. Vznikla rozsáhlá literatura. Matematici používali teorii grup k psaní systematických řešení. Puzzle nebyla jen hračka. Bylo to matematické monstrum.

Nim a podobné hry

Nim je starší, než ukazují záznamy. Jeho původ je nejasný. Hodí se ale ke složité matematice.

Vezměte libovolný počet položek. Rozdělte je na hromádky. Střídají se dva hráči. Vyberte hromadu. Odstraňte jednu nebo všechny položky. Vyhrává hráč, který si vezme poslední předmět.

Každá pozice je buď „bezpečná“ nebo „nebezpečná“.
Pokud necháte soupeře v nebezpečné pozici, můžete si vynutit vítězství.
Pokud ho necháte v bezpečné pozici, každý pohyb, který uděláte, mu poskytne výhodu.

Jak poznáte, která pozice je která? Binární zápis. Naskládejte sloupce položek do každé hromádky. Pokud je součet každého sloupce nula nebo sudé číslo, pozice je bezpečná.

Příklad: tři hromádky se 4, 9 a 15 položkami.

Výpočet vypadá takto:

4:0100
9: 1 0 0 1
15: 1 1 1 1

---

Částka: 2 2 1 0

Dva jsou sudé. Dva jsou sudé. Jeden je zvláštní. Jeden je sudý.

Lichý sloupec narušuje zabezpečení. Pozice není bezpečná.

Logika teorie her není omezena na jednoduchou aritmetiku. Pokud je pozice prohraná, zkušený hráč se vždy pokusí proměnit desku ve vítěznou. Jde o přežití v abstraktní architektuře hry.

Zvažme možnost se dvěma hromádkami. Můžete si vzít předměty z libovolné hromádky. Nebo obojí. Pokud ale berete z obou, musíte z každého brát stejné množství. Vyhrává ten, kdo vezme poslední žeton.

Hry jako Nim vyžadují zvláštní mentální flexibilitu. Musíte převést desetinná čísla na binární a naopak. Pro většinu lidí to není intuitivní. Pro auta je však ideální. Digitální počítače pracují na binární číselné soustavě. Používají to ve svém „rodném“ jazyce. Díky tomu je možné naprogramovat počítač tak, aby hrál bezchybně.

Edward Uhler Condon a jeho kolega přesně takový stroj vymysleli. Automatický Nimatron. Debutoval na Světové výstavě v New Yorku v roce 1940. Porazil lidské hráče prostřednictvím čisté kalkulace.

Hry s globálním skóre

Tyto hry nejsou ojedinělé kuriozity. Jsou populární po celém světě. Vezměte si hru s oblázky, známou také jako hra s lichými čísly. Dva lidé začínají s lichým počtem oblázků na jedné hromadě. Střídavě berou jeden, dva nebo tři oblázky. Když je hromádka prázdná, vyhrává hráč s lichým počtem zbývajících oblázků.

Tyto hry mají předchůdce. Jsou starší. To jsou mancala hry. Hráči rozdělují oblázky, semínka nebo žetony do řad jamek. Pravidla se liší. Hrají se po staletí v Africe a Asii. Mechanika je jednoduchá. Strategie je hluboká.

Úkoly vyvozování

Mnoho hádanek nezahrnuje čísla. Geometrie je v nich vzácná nebo vůbec žádná. Vyžadují deduktivní vyvozování založené na logických souvislostech.

Nepleťte si je s hádankami. Hádanky spoléhají na nejednoznačnost. Používají hru se slovy. Jejich cílem je chytit nepozorné. Logické hádanky nemají žádný standardní postup. Obecná šablona pro jejich řešení neexistuje. Vyřešíte je metodou pokus-omyl.

Hádání není chaotické. Tato fakta – většinou jich je minimum – vede k několika hypotézám. Zavrhuješ rozporuplné. Substitucí a eliminací se řešení stává zřejmým. Logické techniky pomáhají. Úspěch ale závisí na vynalézavosti. To je nepolapitelná schopnost.

Logické problémy jsou zde seskupeny pro usnadnění.

Dirigent, hasič a řidič

Tohle je klasika. Verze od Oswalda Jacobyho a Williamsona Bansona Matematika pro potěšení (1962) zůstává kanonická.

Jména dirigenta, hasiče a řidiče byla Smith, Jones a Robinson. Ne nutně v tomto pořadí. Tři cestující měli stejná jména. Aby nedošlo k záměně, budeme jim říkat pan Smith, pan Jones a pan Robinson.

Zde jsou fakta:
– Pan Robinson žil v Detroitu.
– Dirigent žil uprostřed mezi Chicagem a Detroitem.
– Pan Jones vydělal přesně 2000 dolarů ročně.
– Smith porazil hasiče v kulečníku.
– Dirigentův spolujezdec (cestující) vydělal přesně třikrát více než dirigent.
– Cestující, který žil v Chicagu, se jmenoval stejně jako průvodčí.

Jak se jmenoval řidič?

Řešení vyžaduje odříznutí nemožných možností. Nemůžete předpokládat, že jména přímo odpovídají pracovním pozicím. Musíte sladit geografii s příjmem. Výhru v kulečníku musíte spojit s vaší profesí. Toto je pevně zauzlená struktura omezení.

Překrývající se skupiny

Tato kategorie se zabývá sadami. Typický problém je se školním jazykovým klubem.

Mezi členy klubu:
– 21 studoval francouzštinu.
– 20 let studoval němčinu.
– 26 studoval španělštinu.
– 12 studovalo francouzštinu a španělštinu.
– 10 studovalo francouzštinu i němčinu.
– 9 studovalo španělštinu i němčinu.
– 3 studovali francouzštinu, španělštinu a němčinu.

Kolik je členů klubu? Kolik z nich studovalo pouze jeden jazyk?

Čísla se prolínají. Nedají se jen tak složit. Je třeba vzít v úvahu křižovatky. Zde je naznačena logika žilních diagramů. Od součtů odečtete zachycení. Potom se přizpůsobíte tak, aby odpovídaly trojité křižovatce. Odpověď není částka. Je to ve struktuře skupiny.

Pravda a lež

Další možnost se týká spolehlivosti prohlášení. Rytíři a darebáci.

Obyvatelé určitého ostrova jsou buď rytíři, nebo lháři. Vypadají stejně. Rytíři vždy říkají pravdu. Lháři vždy lžou.

Návštěvník se setká se třemi místními obyvateli. Ptá se, jestli jsou to rytíři nebo zrůdy. První říká něco nesrozumitelného. Druhý ukazuje na prvního a říká: “Říkal, že je rytíř.” Třetí ukazuje na druhého a říká: “Lže.”

Návštěvník ví, že jen jeden z nich je lhář. Definuje, kdo každý je.

Kdyby ten první řekl, že je rytíř, pak by jako lhář lhal. Být rytířem, řekl by pravdu. Toto prohlášení předá druhý místní obyvatel. Pokud je druhý rytíř, sděluje pravdu. Pokud je lhář, lže o tom, co bylo řečeno. Třetí nazývá druhého lhářem.

Toto je ověřovací řetězec. Jedno přerušení řetězu odhalí lháře.

Další typ úkolu zahrnuje čtyři muže. Jeden z nich spáchal trestný čin. Policie je vyslýchá.

• Archie: Dave to udělal.
• Dave: Tony to udělal.
• Gus: To nejsem já.
  *Tony: Dave lhal, když řekl, že jsem to udělal.

Pokud je pravdivé pouze jedno tvrzení, kdo je viníkem? Pokud je pouze jedno tvrzení nepravdivé, kdo je viníkem?

Zdroj – kniha K.R. Wiley Jr. “101 rozumových a logických hádanek” (1957). Doverské publikace. Paradoxy jsou založeny na rozporu mezi Davem a Tonym. Dave obviňuje Tonyho. Tony říká, že Dave lhal. Nemohou oba říkat pravdu. Nemohou oba lhát o obvinění způsobem, který snadno zachová pravidlo „jedné pravdy“. Musíte prověřit každého podezřelého. Řekněme, že za to může Archie. Zkontrolujte výpisy. Řekněme, že je to Daveova chyba. Zkontrolujte výpisy. Pravda se objevuje prostřednictvím eliminace nemožných scénářů.

Logika buď funguje, nebo ne. Musíte se rozhodnout, která možnost je vhodná.

Jak funguje puzzle s barevným čelem

Příběh tří cestovatelů a jejich sazí potřísněných tváří je klasickým příkladem čisté logické dedukce. Z železničního tunelu vycházejí tři muži. Každý má na čele skvrnu od sazí, ale nikdo mu nevidí do tváře. Smějí se na sebe. Než si mohou zkontrolovat svůj odraz v zrcátkách, spolucestující jim navrhne test.

Podívejte se na další dva. Pokud uvidíte byť jen jednu skvrnu, zvedněte ruku.

Všichni tři okamžitě zvednou ruce. Pravidlo je jednoduché: držte ruku zvednutou, dokud si nejste jisti svým stavem, a pak ji spusťte.

Po chvíli jeden z mužů ruku spustí. Uvědomí si, že má potřísněný obličej. Zde je návod, jak na to přišel.

Kdyby byl jeho obličej čistý, pak by ostatní dva muži viděli jen jedno potřísněné čelo (každý z nich). Pokud člověk vidí jen jedno ušpiněné čelo, pomyslí si: “Pokud jsem čistý, pak tento člověk vidí dvě čistá čela. Měl si okamžitě uvědomit, že jeho vlastní tvář byla potřísněna, protože jeho ruka byla zvednutá. Okamžitě by ruku položil.”

Ale nevzdali se. Pochybovali. Toto zaváhání dokázalo našemu pozornému cestovateli, že ti dva také něco viděli. Oba viděli jeho potřísněnou tvář. Následně si uvědomil, že on sám je špinavý.

Pochopení paradoxu popravy s překvapením

Paradox překvapivé popravy se objevil prostřednictvím ústních převyprávění na počátku čtyřicátých let. Je to stále těžká záhada.

Soudce sdělí vězni, že bude příští týden oběšen. Poprava se bude konat v poledne jednoho dne v týdnu. Vězeň o tom nebude vědět předem, dokud nepřijde ráno toho dne.

Vězeň tvrdí, že trest je nevykonatelný. Začíná posledním dnem: sobotou. Pokud bude v pátek odpoledne naživu, bude vědět, že poprava musí proběhnout v sobotu. To ale znamená, že o tom věděl předem. Tím je porušena podmínka soudce. Sobota je tedy vyloučena.

Podle stejné logiky se pátek také stává nemožným. Pokud přežije čtvrtek a sobota je vyloučena, stává se pátek jedinou možností. Opět by o tom věděl předem.

Vrací se celý týden. Pondělí, úterý, středa, čtvrtek, pátek, sobota – všechny dny jsou vyloučeny. Vězeň dochází k závěru, že je v bezpečí.

Soudce ho ještě může pověsit. Paradox je jemný. Prohlášení o budoucí události může být pro soudce pravdivé, zatímco vězeň zůstane neznámý, dokud k události nedojde. Logika vězně je chybná, protože předpokládá, že předpověď musí být známa před tím, než se splní, aby byla platná. Ale to není pravda.

Historie logických paradoxů

Tyto hádanky nejsou jen hry. Pokrývají základy matematiky. Jsou nesmírně vtipní a často svůdní.

Krétský prorok Epimenides způsobil problémy již v 6. století před naším letopočtem. E. Řekl: “Všichni Kréťané jsou lháři.” Protože Epimenides byl Kréťan, lhal. Pokud lhal, tak ne všichni Kréťané jsou lháři. Ale pokud řekl pravdu, pak je lhář. To je seberozpor.

V roce 1913 matematik P.E.B. Jourdain navrhl paradox karty.
Přední strana: “Věta na zadní straně této karty je PRAVDA.”
Zadní strana: “Věta na zadní straně této karty je NEPRAVDA.”
Pokud je přední strana pravdivá, je pravdivá i zadní strana. Ale zadní strana tvrdí, že přední strana je falešná. Rozpor.

Bertrand Russell přidal holičský paradox. Žiletka oholí všechny vesničany, kteří se neholí sami. Kdo oholí břitvu?
Pokud se oholí sám, neměl by. Pokud se neholí, měl by. Paradox břitvy je založen na tvrzení o třídě, kde je objekt součástí této třídy. Russell se pokusil tento problém vyřešit pomocí hierarchie booleovských typů. Tím se problém zcela nevyřešil. Tato otázka leží v samém srdci filozofické matematiky.

“Celý problém leží blízko filozofických základů matematiky.”

Tyto hádanky nás nutí přemýšlet o tom, jak definujeme pravdu, znalosti a sebevztahy. Nejen pobaví. Odhalují trhliny v našem myšlení. Poskvrněná tvář nás učí o sdílených znalostech. Provedení ukazuje limity predikce. Lhář a holicí strojek nám ukazují nebezpečí sebereferencí.

Znovu a znovu se k nim vracíme. Ne proto, že máme všechny odpovědi. Ale protože otázky stále mění tvar.