Une série de problèmes mathématiques intrigants centrés sur le nombre 11 a été récemment présentée, offrant un mélange de théorie des nombres et de défis de résolution de problèmes. Ces énigmes, conçues à l’origine par les écoles universitaires de mathématiques du Royaume-Uni, explorent les règles de divisibilité, les modèles de palindrome et la disposition stratégique des nombres. Voici une ventilation des énigmes et de leurs solutions.
La formation de l’équipe de football
Le premier problème consistait à diviser les joueurs d’une équipe de football (numérotés de 1 à 11) en défenseurs, milieux de terrain et attaquants de telle sorte que la somme des numéros de maillot au sein de chaque groupe soit divisible par 11. La solution ? C’est impossible. La somme des nombres de 1 à 11 est de 66, et en excluant le gardien (numéro 1), il reste une somme de 65 pour les joueurs de champ. Puisque la règle de divisibilité exige que la somme de chaque groupe soit divisible par 11 et que le total de ces groupes doit également être divisible par 11, l’impossibilité survient car 65 n’est pas divisible par 11.
Pourquoi est-ce important : Les règles de divisibilité sont fondamentales en théorie des nombres et ont des applications pratiques en arithmétique modulaire et en cryptographie. Ce casse-tête met en évidence comment des contraintes apparemment simples peuvent conduire à des impossibilités mathématiques.
Produits palindromiques de 11
Le deuxième problème explorait les palindromes formés en multipliant 11 par des nombres à un chiffre (1 à 9). Le défi s’est étendu à la recherche de palindromes supplémentaires en multipliant 11 par des nombres jusqu’à 99. Les solutions incluent quatre cas avec des chiffres correspondants (11, 22, 33, 44) et quatre nombres « en escalier » (56, 67, 78, 89). De plus, 11 x 91 = 1001 est aussi un palindrome.
Pourquoi est-ce important : La propriété palindromique unique de la table de multiplication 11 est le résultat direct du système numérique en base 10. Le processus de multiplication révèle des modèles de sommes et de retenues de chiffres, ce qui en fait une démonstration simple mais efficace de la structure mathématique.
Le plus grand nombre divisible
Le puzzle final demandait aux participants de créer le plus grand nombre possible à 10 chiffres en utilisant les chiffres de 0 à 9 une fois chacun, tout en garantissant la divisibilité par 11. La réponse est 9876524130. La règle de divisibilité pour 11 implique une alternance d’addition et de soustraction de chiffres. Pour vérifier, les positions impaires (9, 7, 5, 4, 3) totalisent 28, tandis que les positions paires (8, 6, 2, 1, 0) totalisent 17. La différence (28-17 = 11) confirme la divisibilité.
Pourquoi est-ce important : Ce casse-tête montre comment des règles mathématiques peuvent être appliquées de manière stratégique pour résoudre des problèmes complexes. La règle de divisibilité fournit une méthode rapide et efficace pour vérifier de grands nombres sans effectuer de division complète.
Les écoles universitaires de mathématiques, qui ont développé ces énigmes, sont des écoles de sixième année au Royaume-Uni qui s’adressent aux étudiants doués en mathématiques âgés de 16 à 19 ans. Pour plus d’informations, visitez umaths.ac.uk. Ces défis témoignent de l’élégance et de l’accessibilité de la pensée mathématique.
